133 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



§ S 

 MATHÉMATIQUES 



Sur les fonctions doublement périodiques de troisième espèce, par 

 M. Appell. (Ann. scient, de l'Ecole normale, 3 e série, t. III, p. 9, 



1886.) 



L'auteur applique à divers exemples sa méthode de décompo- 

 sition en éléments simples des fonctions doublement périodiques 

 de troisième espèce. (Voir Ann. de VEc. norm., 3 e série, t. I et II.) 

 Ces applications sont relatives à des fonctions qui, mises sous la 

 forme du quotient de deux produits de fonctions 0, contiennent 

 plus de au numérateur qu'au dénominateur. M. Appell s'attache 

 principalement, la fonction étant décomposée en une somme 

 d'éléments fractionnaires simples et en une partie entière, à la 

 détermination de la partie entière. 



Soit F(z) une fonction uniforme vérifiant les deux relations 



¥{z + aK) zz: F (z), F(js + 2iSJ) — e Vj{*\ 



où m est un entier positif. Si l'on appelle a, ô,... I les pôles dans 

 un parallélogramme des périodes, A, B,..., L leurs résidus, y m (a x z) 

 l'élément de décomposition relatif au pôle a, G(z) une fonction 

 entière, on peut écrire 



FW=-A/ m («,--)-Bx,„(«^) •... L- A Jl,z)+G(z). 



M. Appell détermine G(s) en appliquant une méthode qui revient 

 à celle des coefficients indéterminés. Posant 



... v == »l 



' [ ' ' H(z-a) H(s— mï) iJ -H(a— a v ) 



où a v a 2 ,..., a m désignent des constantes arbitraires et s leur 

 somme, et appelant G^z), G 2 (z),.... G m (z) les résidus de ^m aux 

 pôles azzflj, a~a 2 ,..., a— a ni , G(z) sera donnée par la formule 



G(z)=z\ l G i (z)+\ 2 G 2 (z)+ . . . +\ m G m (z) 

 où 



A = F K) + A X m (B,Ov) + B X 0l ( ô » a v)+»-+' L % B -(^ fl v)( v = :i » a i-'''» "»). 



