140 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



d'affixe y. On demande de répartir la masse de façon que les inté- 

 grales 



f l f(y)dy, f l yf{y)dy fV/Wy 



J ° . ' ■ J 



aient des valeurs données et que la masse / f(y)d;/ du segment 

 a soit un maximum on un minimum. 



Sur les fonctions d'une variable analogues aux fonctions hyper - 

 géométriques, par M. Goursat. (Ibid., p. 107.) 



Riemann a montré que les fonctions hypergéométriques sont 

 définies par leurs points de ramification et les exposants de discon- 

 tinuité entre lesquels doit exister une certaine relation. Si l'on 

 cherche à étendre la définition de Riemann aux intégrales d'équa- 

 tions linéaires d'ordre supérieur au second ou ayant plus de trois 

 points critiques, il faut imposer à ces intégrales, outre les condi- 

 tions de Riemann, d'autres conditions, d'ailleurs arbitraires. Les 

 plus simples consistent à supposer que, dans le domaine de 

 quelques-uns des points critiques, il existe plusieurs branches 

 linéairement indépendantes telles que le quotient de deux d'entre 

 elles est uniforme dans ce domaine. Soit alors 



l'équation linéaire à coefficients rationnels et à intégrales régu- 

 lières ayant p points singuliers « 1? « 2 ,..., a p (y compris .r:= oc ), où 



ty(x) = (x — a, ) (x — a 2 ) . . . (x — a ? _ 1; ) 



et où P.p_ 1 (ar),;., F m ( P _) 2 (x) sont des polynômes d'un degré au plus 

 égal à leur indice. Pour déterminer les coefficients inconnus de 

 ces polynômes, les conditions imposées aux intégrales conduisent 

 à résoudre en nombres entiers et positifs certaines équations arith- 

 métiques. Connaissant un système de solutions, le calcul des 

 coefficients est ramené à la résolution d'un système d'équations 

 algébriques qui, dans un cas particulier (dans lequel rentrent 

 d'ailleurs tons les autres) se réduisent au premier degré. 



Voici en termes plus précis, comment se pose dans le cas en 

 question le problème de Riemann généralisé : 



