ANALYSES ET ANNONCES. - MATHÉMATIQUES 141 



i° Chacune des intégrales y est holomorphe pour toute valeur 

 de x, sauf dans le voisinage des points a v a 2 ..., à , ^ ; 



•2° Quand on fait décrire à la variable un chemin fermé ne 

 passant par aucun point critique, les valeurs finales des y sont 

 liées aux valeurs initiales par des relations linéaires et homo- 

 gènes à coefficients constants ; 



3° Dans le domaine du point singulier m {izz î, a,...,p) on a m 

 branches linéairement indépendantes qui se partagent en \\ 

 groupes, comprenant respectivement mft), m 2 (*i,... myffi fonctions. 

 Les branches du k ième groupe sont de la forme 



// = (r -*,)'*" P*(x- «,-), 



où P/c{-t — a { ) représente une série convergente ordonnée suivant 

 les puissances croissantes de x — ai ; 

 4° Les nombres mufti vérifient les équations 



h *»V(m®+i 



2 Zi - 



i—\ k~i 



(»* 0(p-») + 1 



V m® z= m ''/=: j,2, . . . , p) 



k—i 



et entre les exposants ri(*) on a la relation 



i=p k — Ki 



F = l k=l L 





Il y a deux types de cette espèce pour le troisième ordre, six 

 pour le quatrième. 



Toutes ces équations jouissent d'une propriété importante. On 

 peut, par des calculs algébriques, déterminer les substitutions que 

 subit un système fondamental d'intégrales convenablement choisi 

 quand on fait décrire à la variable un contour fermé. Les coeffi- 

 cients de ces substitutions sont des fonctions algébriques des mul- 

 tiplicateurs des intégrales dans le domaine des points critiques et 

 ne dépendent pas des points critiques eux-mêmes. 



