ANALYSES ET ANNONCES. - MATHÉMATIQUES 143 



lions F (a) développables en séries telles que 



que l'on ne pourrait continuer indéfiniment au point de vue du 

 calcul numérique, car la série serait divergente. Il n'est permis 

 d'utiliser ce développement qu'après une discussion, généralement 

 fort délicate, du terme complémentaire R n . 



Pour un grand nombre de séries où les coefficients sont alter- 

 nativement positifs et négatifs, on a prouvé que la valeur de 

 F (a) est comprise entre les sommes de n et de n -+- 1 termes. Pour 

 les séries, beaucoup plus difficiles à étudier, où les coefficients 

 sont de même signe, le vrai problème à résoudre est, suivant 

 M. Stieltjes, la détermination du rang du reste R n qui change de 

 signe, c'est-à-dire la résolution de l'équation transcendante 

 R„ = o. Soit n le premier nombre entier supérieur à la racine ; la 

 valeur exacte de F (a) est alors comprise entre deux limites dont 

 la différence est égale au dernier terme employé T n . Si même la 

 racine est obtenue avec une grande approximation, l'erreur com- 

 mise sur F (a) sera seulement une fraction très faible de T n . Dans 

 tous les exemples traités par l'auteur se présente cette circons- 

 tance favorable que le changement de signe de R n a lieu dans le 

 voisinage du plus petit terme. 



La première et la plus simple des séries étudiées par M. Stieltjes 

 est fournie par le développement du logarithme intégral 



Tt a \ a I 1 • l i * ' 2 i . l ' 2 ■ • • ( n— . r> 1 



h(e)—e - + - H r + . . . -\ > - y + R n 



R„ = val. pnnc. / 



. L i — v 



— av 



dv • 



Comme il s'agit d'un développement suivant les puissances 

 décroissantes de n, on peut réduire les limites de l'intégrale pré- 

 cédente à des quantités î — h, î + k très voisines de l'unité, ce 

 qui permet d'obtenir la racine N de l'équation R n z= o par la mé- 

 thode du retour des suites 



N _ r7 __i^ $_ i6 



3 /[oja 255i5a 2 

 avec une approximation du même ordre que c~~ a V/— • 



Cet exemple permet de comprendre comment M. Stieltjes traite 



