ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 157 



instantanées rapportées au plan invariable ; dans chaque cas il 

 effectue la réduction du problème a un système de septième ordre. 



Sur les séries trigo.vométriques dans le problème des trois corps- 

 par M. Lixdstedt. (lbid.< p. 216.. 



L'auteur s'est occupé antérieurement (Ann. de VEc. norm., 1884 

 des systèmes d'équations différentielles tels que 



g-fV* = P(*,y), 



où P et Q sont des séries ordonnées suivant les puissances de x 

 et y, à coefficients petits par rapport à p. et 7. Il a obtenu les 

 séries trigonométriques 



x =z G == 2 a .. cos (im -f- jfn) /, 

 .x- = H = Sp« cos (im -f- jw) /, 



qui satisfont, au moins quant à la forme, au système proposé. 

 Tous les coefficients qui figurent dans les séries G et H s'ex- 

 priment en fonction des deux premiers « 10 =z 5? Pot ~ r <- 



M. Lindstedt transforme ses séries en introduisant deux nou- 

 veaux paramètres m',n' liés à m,n par les formules 



m 1 zr am -f- bn, n' ~ cm -\- dn, 



où a, b, c, d sont des entiers quelconques, sauf la condition 

 ad — bc — + 1. Les séries G et H deviennent 



G'^Sa'y- cos (im'+jn')t, 

 H' — Sfe- cos («m' -j-jV) f, 



mais ne diffèrent de leurs expressions primitives que par 

 l'ordre des termes. Ici on pourra prendre arbitrairement deux 

 quelconques x a f>,$cd des coefficients primitifs, pourvu que ad — bc 

 soit égal h -j- 1. Ainsi d'un premier groupe de valeurs données 



