224 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Une des principales difficultés que l'on rencontre dans l'étude 

 des systèmes provient de l'existence de courbes exceptionnelles à 

 branches multiples ou à points multiples. Ainsi, dans un système 

 de coniques, il y a en général des coniques infiniment aplaties (en 

 nombre a) et des quasi-coniques ou ensembles de deux droites 

 (en nombre fi). Entre ces nombres a et [3 et les caractéristiques \l, v 

 existent les deux relations. 



2 [L z= a '•+ v, 2 v = (3 + [/,. 



Ces relations font connaître immédiatement les caractéristiques 

 des systèmes élémentaires de coniques (coniques passant par quatre 

 points, passant par trois points et tangentes à une droite, etc.), 

 systèmes qui sont au nombre de cinq : (4p), (3 p, i d), (2 p, 2 d), 

 (îp, 3 d), (4 d). Le système (4 p) a pour caractéristiques p.zzzi, v=2; 

 le système (3 p, 1 d), \x = 2, v = 4; le système (2 p, 2 d), 

 y* — 4, v — 4 ; le système (3 d, 1 p), \x — 4, v — 2 ; le système (4 d), 

 [j. — 2, v = 1 (Zeuthen). 



Le système de coniques peut être déterminé par d'autres con- 

 ditions Z que par celles de passer par un point ou d'être tangentes 

 à une droite. Les considérations dont l'auteur fait usage pour 

 trouver dans ce cas les caractéristiques s'appliquent aux systèmes 

 d'ordre quelconque, pourvu que l'on connaisse les caractéristiques 

 des systèmes élémentaires (c'est-à-dire déterminés uniquement 

 par des points et des tangentes) et pourvu que le nombre des 

 courbes d'un système (jjl,v) qui satisfont à une dernière condition 

 Z soit de la forme x\x -\- (3v, a, (3 étant des entiers qui ne dépen- 

 dent que de Z. 



Cette théorie des caractéristiques permet d'établir avec la plus 

 grande simplicité les propriétés des systèmes de courbes et en 

 particulier de coniques, comme M. Legoux le prouve par de nom- 

 breuses applications. 



D'ailleurs le principe de correspondance peut être étendu aux 

 séries de points pris sur des courbes unicursales quelconques 

 (Cayley) et la théorie des caractéristiques peut être appliquée aux 

 système de courbes transcendantes. 



Sur les contours décrits autour des points singuliers d une équa- 

 tion algébrique, par M. David. (Ibid., p. 296.) 



Deux variables complexes a? et pétant liées par une équation al- 

 gébrique irréductible, on fait décrire à y dans le plan Y un cercle 



