ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 225 



de rayon r autour de l'origine comme centre. Tant que r reste suf- 

 fisamment petit, la variable x décrit dans le plan X des courbes 

 fermées très petites correspondant aux racines finies, ou des 

 courbes très grandes correspondant aux racines infinies. Ces 

 courbes vont en grandissant ou en diminuant ; à un certain mo- 

 ment elles se rencontrent ; les points de rencontre sont les points 

 singuliers des courbes tracées sur le plan X. La question, résolue 

 par M. David, consiste à déterminer l'allure de ces courbes aux 

 environs de ces points. 



Recherches sur les surfaces dont les trajectoires sous un angle 



CONSTANT DES SECTIONS PLANES PASSANT PAR UNE DROITE DONNÉE ONT 

 POUR PERSPECTIVE DES SPIRALES LOGARITHMIQUES, par M. MOLINS. 



(Ibid., p. 427.) 



Une surface est coupée par une série de plans passant par une 

 droite donnée O;, et l'on considère les trajectoires sous un angle 

 constant w des sections résultantes. En prenant un point de vue 

 sur la droite et un plan xOy qui lui soit perpendiculaire pour plan 

 du tableau, quelle doit être la surface pour que la perspective 

 d'une trajectoire quelconque soit une spirale logarithmique ? 



Si l'on emploie les coordonnées semi-polaires (u, 6, z) et que 

 l'on désigne par w' l'angle du rayon vecteur u avec la tangente à 

 la perspective de la trajectoire correspondante, parc la distance 

 du point de vue à l'origine, l'équation différentielle de la surface 

 sera 



o>\/i -r fc)cotgco'+ ô 



z + c dz 

 u du 



C'est une équation aux dérivées partielles du premier ordre, 

 toujours intégrable dans le cas où la surface est de révolution. 

 Parmi les autres cas où l'intégration est possible, l'auteur signale 

 en particulier : i° celui d'une famille de conoïdes pour lesquels 

 les trajectoires considérées sont situées sur des cylindres de révo- 

 lution qui ont même axe que les conoïdes ; i° celui d'une famille 

 de surfaces algébriques du quatrième ordre pour lesquelles les 

 trajectoires, supposées orthogonales, sont des hyperboles ayant 

 pour perspectives des circonférences. 



àz 2 1 dz 2 

 x du" ^ u 2 de- 



àzdz 

 ~ôûôô 



Ô3 2 





