ANALYSES ET ANNONCES. - MATHEMATIQUES 229 



Sur un moyen d'augmenter la convergence des séries 



TRIGONOMÉTRIQUES, par M. PoiNCARÉ. (Ib'td., p. 521.) 



Soit une série trigonométrique 



S A sin mx -4-1^13 cos mx. x 

 On peut dire que la convergence est d'ordre p, si l'on a 

 modra A < k , mod ?/B < k , 



m — m — 



k étant une quantité positive indépendante de m. 



Soit f[x) une fonction périodique de période i t., finie et con- 

 tinue ainsi que toutes ses dérivées entre o et i tl, sauf pour cer- 

 taines valeurs exceptionnelles. On dira que cette fonction présente, 

 pour une valeur de x, une discontinuité d'ordre p, si dans le voi- 

 sinage de cette valeur f(x) et les p — 2 premières dérivées, restent 

 finies et continues, la^> — i ième étant finie mais discontinue. 



M. Poincaré démontre que, si f(x) ne présente que des discon- 

 tinuités d'ordre p, elle sera représentée par une série trigono- 

 métrique dont la convergence sera d'ordre p. 



A cet effet, il résout le problème suivant : construire une fonc- 

 tion périodique qui admette des discontinuités données. 



Pour obtenir une série trigonométrique dont la convergence 

 soit d'ordre p et qui représente une fonction f (x), l'auteur intro- 

 duit une nouvelle fonction a? (x) également finie et continue ainsi 

 que toutes ses dérivées, mais entièrement arbitraire ; il existe 

 une série trigonométrique qui représente f(x) entre o et ' et ç(a?) 

 entre et — iu. 



Les conditions pour que la série soit convergente d'ordre p 

 reviennent à assigner à y{x) et à ses p — i premières dérivées des 

 valeurs déterminées pour x — et x zz — tz: 



Appliquant ces principes aux cas particuliers traités par 

 MM. Gylden et Charlier (voir ci-dessus), on retrouve immédiate- 

 ment leurs résultats. 



Ï5UR LE DEVELOPPEMENT DES COORDONNÉES ELLIPTIQUES, 



par M. Call andre au. {Ibid, p. 028.) 



Tant que l'excentricité d'une orbite planétaire est inférieure à 

 0,6627..., les séries qui représentent le rayon vecteur et l'anomalie 

 vraie sont absolument convergentes (Laplace). L'auteur vérifie 

 que l'on peut répondre de la convergence absolue des séries 



