312 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



f et f t étant rationnels, on obtiendra entre x' et y' une relation 

 algébrique dont le genre q sera généralement supérieur à p. Les 

 fonctions abéliennes de rang q engendrées parla courbe en x' y' 

 peuvent donc se réduire à des fonctions de rang p, en même 

 temps que se réduit le genre de la courbe. 



En général, x', y' sont des fonctions non uniformes de x, y, 

 mais ces fonctions peuvent être inramifîées, c'est-à-dire que x et y 

 décrivant des contours fermés infiniment petits, x' et y' reprennent 

 la même valeur. Dans ce cas, si p zz 1, on doit avoir aussi q zz 1, 

 en sorte que la réduction au genre 1 par des fonctions inramifîées 

 est impossible. 



Pour p quelconque, M. Poincaré a montré antérieurement que, 

 quand il y a réduction, on peut, par une transformation d'ordre k, 

 changer la fonction © à réduire en un produit de fonctions 6 d'un 

 nombre moindre de variables. L'entier k est alors le nombre 

 caractéristique de la réduction. 



Ce théorème fournit une classification très simple des cas de 

 réduction, mais qui ne permet pas de distinguer des autres les cas 

 où la réduction des fonctions abéliennes est accompagnée de la 

 réduction du genre de la courbe. On peut éviter cet inconvénient 

 en prenant pour point de départ d'une classification des cas de 

 réduction la théorie de la transformation des fonctions fuch- 

 siennes. Étant donné un groupe fuchsien, on peut chercher les 

 sous-groupes fuchsiens qui y sont contenus : cette recherche est 

 l'analogue de la transformation des fonctions elliptiques. M. Poin- 

 caré en donne divers exemples. 



Sur les réciprocants purs irréductibles du quatrième ordre, 

 par M. Sylvester. (Ibid.,ip. 202.) 



Sur les résidus des intégrales doubles, par M. Poincaré. 

 (Ibid., p. 202.) 



Soit F (Ç, y]) — P -MQ une fonction des deux variables com- 

 plexes 



^ — x + iy\ yjzzz^Ï. 



Le contour d'intégration de F (Ç, tq) dq dr t étant défini par les 

 quatre équations 



■rzrç^w, u), yzzç 2 (w,u), z zz ? 3 (*', t>), t-o, u,.v), 



