ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 313 



où u et v sont réels, on considère trois fonctions entières de x i y, z, 

 t qu'on prend pour coordonnées d'un point M de l'espace, et l'on 

 fait varier u et v ; si, quelles que soient ces fonctions entières, le 

 point M décrit une surface fermée, on dira que le contour d'inté- 

 gration est fermé. 



M. Poincaré étudie le cas où F (Ç, t\) est une fonction rationnelle 

 mise sous la forme 



et cherche les périodes de l'intégrale double 



JJ-F(z,r l )d^dr,=jj 



:P + iQ) ^4 +(îP _ Q) ^v 



d(u, v) à(u, v) 



+ ( ,- P _ Q) «_ ( P^Q)M"| <*„«/,. 

 ' à(u,v) à(u,v)J 



c'est-à-dire les valeurs obtenues en intégrant le long d'un con- 

 tour fermé. Ces périodes sont de trois sortes : 



i° Les périodes de la première sorte sont égales à 27:?' H, H étant 

 une période de première espèce de l'intégrale abélienne 



■ « ^ M 



r ' ! dr t 



relative à la courbe 8(Ç, y])==o; de même pour l'autre courbe 

 ty (5, fl) = o; 



2 Les périodes de la seconde sorte, relatives aux points d'inter- 

 section (c, vj) des deux courbes <p et 6, ont pour valeur 



+ 4 _ 2 <p(M) 



dûdb dty db 

 dz, dr t dr t d^c, 



3° Les périodes de la troisième sorte , relatives aux points 

 doubles ($,yj) de la courbe 0, ont pour valeur 



+ 4~ 2 *&*> 



U r VJ-{**X ***** 



Revue des trav. scieint. — T. VII, n° 6. 2.'i 



