ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 315 



Pour que la vrille ne puisse pas s'enfoncer sous la charge Q r 

 sans effort extérieur rotatif, il faut que M < o ou que 



,3 tg Tl 4-tgYo 



/ >- cot i smy c 



tg^. + tg^tgYo + tg'ïo 



Sur les intégrales de différentielles totales de seconde espèce, 

 par M. Picard. (Ibid., p. 200.) 



Étant donnée une surface, reconnaître si elle possède des inté- 

 grales de seconde espèce autres que des fonctions rationnelles (cas 

 général)^ et trouver le nombre minimum de ces intégrales pour 

 lesquelles- aucune combinaison linéaire ne soit égale à une fonc" 

 tion rationnelle des coordonnées. 



Pour exposer la solution qu'il a donnée de ce problème, M. Pi- 

 card prend l'équation de la surface sous la forme particulière 

 z l ^f(x,y). Il montre que toute intégrale de différentielle totale 

 de seconde espèce peut, après soustraction d'une fonction ration - 

 nelle convenable, se mettre sous la forme 



/. 



Pdx -f Qdy 



v 7 f(x,y) 



où 



.. m — 2 . m — 3 . , 



P -a x +a t x +• • •+ a m _ r 



— b x -\-b,x +• • - + ô m _ r 



les a et b étant des fonctions rationnelles de?/. La condition d'inté- 

 grabilité 



èy U <te~ /( X ' y) \ày dx) 



fournit 2 m — - 1 relations qui permettent d'exprimer b , b iy ..., b m —i 

 à l'aide des a et de leurs dérivées premières, et a 4 , a, 2 , ..., a m — 2 au 

 moyen de a et de ses dérivées. Quant à r/ , il satisfera à une 

 équation linéaire d'ordre m — 1 dont les coefficients seront des 

 polynômes en y. On cherchera si cette équation peut être vérifiée 

 par une fonction rationnelle en?/. Si l'on trouver intégrales ration- 

 nelles, on en déduit des valeurs correspondantes pour a et b, et 

 l'on a alors r intégrales distinctes de seconde espèce. 



