

ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 377 



plifîent l'étude des formes que M. Sylvester appelle réciprocants. 

 Un réciprocant d'ordre X est défini par la relation identique 



_, . . , ■v„/'i — a 2a 2 — tb — 5a* 4- 5 tab — Pc \ 

 F^«,..0=.±^ 7> — , -_, —,...) 



où t. ia, 2.3. b, 2.3. 4. c désignent les dérivées -4- ' —- , . . .et-, 



dx dx* t 



les quantités qui leur correspondent quand on regarde x 



— a 



comme fonction de y. 

 Si R et R/ sont deux réciprocants quelconques (purs ou mixtes) 



de classes \ et )/, VR-: \R —r- sera un réciprocant de classe 



dx dx 



à +X'+ i, et de caractère pair ou impair suivant que R et R' 

 sont ou non de même caractère. Ce théorème permet de déduire 

 des réciprocants d'ordre j ceux d'ordre^' + i, et notamment d'ob- 

 tenir de proche en proche, en parlant des deux protomorphes les 

 plus simples A ~ a, A^ = 4 ac — 5 b % les protomorphes des divers 

 ordres. 



Après avoir énoncé d'autres théorèmes qui permettent de dé- 

 duire de réciprocants donnés d'autres réciprocants, M. Perrin 

 énonce certaines propriétés des réciprocants complètement iden- 

 tiques à celles des sous-invariants et qui, par conséquent, appar- 

 tiennent aux invariants différentiels : 



i° Les dérivées successives d'un réciprocant, prises par rapport 

 à la dérivée de l'ordre le plus élevé qui y figure, sont encore des 

 réciprocants de caractère alternativement pair ou impair; 



2° Si, dans plusieurs réciprocants du même ordre, on remplace 



g 

 la dérivée de l'ordre le plus élevé par le rapport - de deux varia- 



blés homogènes et qu'on les considère comme des formes binaires 

 indépendantes aux variables Ç, r h tout covariant, invariant ou 

 sous-invariant de ce système de formes sera encore un réciprocant; 

 3° Tout réciprocant pur est déterminé et calculable quand on 

 connaît son résidu, c'est-à-dire la partie du réciprocant qui ne 

 contient pas la variable de l'ordre le plus élevé. 



Sur la polhodie et l'herpolhodie, par M. Mannheim. (Ibid., p. 353. 



