378 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Sur le calcul des périodes des intégrales doubles, par M. Picard. 



(Ibid., p. 4io.) 



Dans l'intégrale double 



*Q(x,y,z)dxdy 



ff- 



n 



supposée de première espèce, on laisse d'abord x constant et l'on 

 prend, le long d'un cycle relatif à la relation algébrique entre x 



J"Q(x,y,z)du 

 ' , — - = P(x). Alors, dans le 

 } z 



plan de la variable x, on prendra l'intégrale fP(x)dx le long d'un 

 contour fermé qui soit un cycle pour la période représentée par 

 la fonction multiforme P(a?). L'intégrale ainsi obtenue est une 

 période de l'intégrale double. 



La fonction P [x) satisfait à une équation différentielle linéaire 

 dont les points singuliers correspondent aux valeurs de x pour 

 lesquelles l'équation résultant de l'élimination de z entre /= o et 

 // r o a deux ou plusieurs racines égales : on voit dès lors com- 

 ment les périodes des intégrales doubles peuvent être ramenées à 

 des intégrales simples. 



M. Picard effectue les calculs dans le cas où les coordonnées 

 x,y,z, d'un point de la surface s'expriment par des fonctions qua- 

 druplement périodiques de deux paramètres aux quatre couples 

 de périodes 



J) i ù) 2 to 3 (t) 4 ^ 



r i il' 

 ù, 0) 2 G) 3 (D 4 ) 



Les périodes de l'intégrale double sont les six quantités 

 co.o)^ — b) k i» t (i,k = i,2,3,4) 



Ces six périodes se réduisent d'ailleurs à cinq. 



Détermination du reste dans la formule de quadrature de Gauss, 

 par M. Mansion. (Ibid., p. 4*3.) 



Soient f{x) la fonction à interpoler, x v .x 2 ,...., x n les racines du 

 polynôme X n de Legendre, G(x) le polynôme entier de degré n — i, 



