478 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Sur quelques équations différentielles non linéaires. Sur une 

 classe d'équations différentielles non linéaires, par m. r. 

 Liouville. [Ibid., p. 4^7 et 520.) 



L'équation différentielle : 



y „ + J/ , ! ÔJogP_ ;/ ,ôloga r=o 

 ày d x 



peut toujours être intégrée, si les fonctions a, (3 vérifient le 

 système 



dx ày dx ày 



dont la solution générale est 



^ô^log^Y. + X^ + X^), 



i3 = ^ / log(L 1 M i + L J M,+ L 3 M3); 



les lettres X désignent des fonctions arbitraires de x, les Y des 

 fonctions arbitraires de y, et on a posé 



L d = X 2 X' 3 - X 3 X' â M t = Y, Y' 3 - Y,Y' f 



L'intégrale générale de l'équation proposée est 



ô f D -| CiL, +0,^ + 0^, 1 o 



en représentant par C u C 2 _, C 3 trois constantes arbitraires. 



Ce résultat se rattache à une proposition plus générale, qui 

 fait l'objet d'une seconde communication : Pour qu'une équation 

 différentielle de second ordre admette une intégrale générale où 

 les constantes arbitraires entrent linéairement, il faut et il suffît 

 qu'elle soit de la forme 



y" + a i l f + ^y' z + 3 « 3 ?/ + «4 = 



les a étant des fonctions de a? et y qui vérifient un certain système de 

 deux équations aux dérivées partielles. 



