ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 479 



Sur les intégrales algébriques des problèmes de la dynamique, 

 par M. Kcenigs. (Ibid., p.46o.) 



Tous les auteurs qui se sont occupés de ce sujet ont admis que 

 l'intégrale algébrique considérée : i° est algébrique par rapport 

 aux composantes des vitesses ; i° qu'elle est rationnelle par rapport 

 à ces vitesses. 



M. Kœnigs, en se bornant aux problèmes qu'on peut traiter par 

 la méthode de Jacobi, montre que, sous une condition simple et 

 générale imposée à l'équation de Jacobi, le cas d'une intégrale 

 algébrique irrationnelle rentre dans le cas de la rationnalité, en 

 vertu de ce théorème : 



S'il existe une intégrale <ï> algébrique et irrationnelle par rapport 

 à l'une des quantités qi et pi, on pourra toujours exprimer $ à 

 l'aide d'un nombre limité d'intégrales, non seulement algébriques, 

 mais encore rationnelles par rapport à cette quantité. 



Il suit de là, entre autres conséquences, qu'au point de vue 

 algébrique, les recherches de Bour et de M. Maurice Lévy sur les 

 géodésiques à intégrales rationnelles offrent toute la généralité 

 voulue. 



Sur le théorème d'Abel, par M. Humbert (Ibid., p. 919.) 



Etant donnée une courbe algébrique de degré n, f(n, y) =0 que 

 l'on coupe par un faisceau R — w? = o de courbes de degré m, on 

 propose d'évaluer directement l'expression 



i ttz mn 



i=l 



°i R (^?/) 



o 



'2 > 



où Q et R sont des polynômes de degrés q et r, et où a?, , x 2 



x v ...,x mn sont les abscisses d'intersection de /*~o avec les deux 



courbes F — u ? — 0, F — uo — . 



Les coordonnées homogènes de la courbe f(x v x 2 , x 3 ) zr o 

 peuvent toujours se mettre sous la forme 



xi~ ®<(0 (»=*i a f 3). 

 ©j, 0>, ® 3 étant des fonctions thétafuchsiennes holomorphes d'un 



paramètre t et de degré [a. L'intégrale I— / Jv i9 , dx peut dès 



J R{x,y) 



