538 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Sur les surfaces algébriques susceptibles d'une double infinité de 



TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES, par M. PlCARD. (Ibid., p. ;3o.) 



On obtient toutes ces surfaces en prenant pour les coordonnées 

 x, ?y, z d'un quelconque de leurs points des fonctions uniformes 

 quadruplement périodiques de deux paramètres ou des dégéné- 

 rescences de pareilles fonctions. 



Ce théorème permet de faire l'étude complète de l'équation dif- 

 férentielle du second ordre 



Ay» y'> y") = ° 



quand son intégrale générale est uniforme. Dans le cas où y, y', 

 y" s'expriment par des fonctions uniformes ayant effectivement 

 quatre couples de périodes, l'intégrale générale y est de la forme 



y zz o(ax + G, a'x + C) 



a et a' étant deux constantes, G et G' étant arbitraires, et 9 (u, v) 

 représentant une fonction quadruplement périodique deu etv. 



SUR LES TRANSFORMATIONS DES SURFACES EN ELLES-MÊMES, par 



M. Poincaré. (Ibid., p. ;32.) 



L'auteur donne du théorèmede M. Picard (v. ci-dessus, p. 536) une 

 démonstration fondée sur les propriétés des groupes continus. Ce 

 mode de raisonnement est applicable à d'autres questions. Ainsi 

 pour qu'une équation différentielle du premier ordre n'ait qu'un 

 nombre fini de points singuliers, il faut qu'elle soit réductible aux 

 équations linéaires, ou intégrable soit algébriquement, soit par 

 quadratures (Fuchs, Poincaré). D'après l'analyse exposée dans la 

 présente note, il en est encore de même pour les équations d'ordre 

 supérieur. 



Extension du théorème de Riemann-Roch aux surfaces algébriques, 

 par M. Nqether. (Ibid., p. 734.) 



Avant d'entrer en matière, l'auteur donne une relation qui lie 

 les deux nombres p et p 2 relatifs à une surface (voir ci-dessus, 

 p. 536) et le nombre appelé D par M. Picard (voir ci-dessus, p. 535) ; 



