ANALYSES ET ANNONCES. - MATHEMATIQUES 57 



Sur un problème relatif a la théorie des surfaces minima, par 

 M. Darboux. (Comptes rendus de UAcad. des sciences, t. C1V, 

 1887, p. 728.) 



Dans une communication antérieure (Comptes rendus, t. Cil, 

 i886\ M. Darboux a donné deux solutions de ce problème : déter- 

 miner les surfaces minima algébriques inscrites dans une déve- 

 loppante algébrique. A ces deux solutions, il en ajoute une troi- 

 sième fondée sur le mode suivant de génération des surfaces 

 minima dû à M. Ribaucour: étant données deux développables 

 S, E<, circonscrites au cercle de l'infini, la surface minima la plus 

 générale est l'enveloppe des plans perpendiculaires à toutes les 

 tangentes communes de ces développables, et équidistants des 

 deux points de contact de ces tangentes communes. 



Cette définition conduit M. Darboux à une solution très simple 

 du problème proposé. Pour obtenir toutes les surfaces minima 

 inscrites dans une développable A, on déterminera toutes les sur- 

 faces réglées dont les génératrices sont normales aux plans de A 

 et pour lesquelles le point central de chaque génératrice se trouve 

 dans le plan correspondant de A. Les arêtes de rebroussement 

 des deux développables circonscrites à chaque surface réglée et 

 au cercle de l'infini seront les courbes minima au moyen desquelles 

 on peut, comme l'a montré M. Lie, engendrer la surface minima 

 correspondante. 



Si l'on rapporte les points de l'espace au trièdre mobile, formé 

 par la tangente, la normale principale et la binormale en un point 

 de l'arête de rebroussement de A, la droite qui engendre la sur- 

 face réglée satisfaisant aux conditions énoncées, aura pour équa- 

 tions 



dii. 



ds 

 où — désigne l'angle de contingence en M. Ces formules résolvent 



? 



complètement le problème ; on choisira arbitrairement y l ; si y ± est 



algébrique, la surface minima correspondante sera algébrique. 



Ces formules se traduisent par une construction géométrique 



qui résout complètement le problème posé par M. Darboux. 



