62 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



si, parmi les courbes qu'elle représente (en coordonnées rectangu- 

 laires), on considère celles qui passent par un point fixe (x, y), 

 le lieu de leurs centres de courbure en ce point est immédiatement 

 donné par l'équation. 



/(*, y ,-!=f, ( *-«>• + (*-»>■ )=,. 



\ 'l — y r t — y J 



L'auteur signale un cas où cette équation est du 3 e degré par 

 rapport aux coordonnées courantes g, r\, et déduit des propriétés 

 des cubiques les propriétés du faisceau correspondant. 



Sur un théorème relatif a la résolution de l'équation «X 4 + 6Y 4 

 =z:cZ 2 , par M. Desboves. {Comptes rendus de VAcad. des sciences, 

 t. CIV, 1887, p. 846.) 



Si l'on désigne par (x,y,z), (x f ,y',z') deux solutions en nombres 

 entiers de l'équation 



(1) aX'+bY' — cZ", 



on obtient une nouvelle solution (X,Y,Z) par les formules 



S.x-'X z= x'\' — bcy*\>?, y'Y zz y' 2 \* — acxy? 



x fi z'*Z — [(.x- 2 A 2 + bc\f\i?)z' + ibxyy'^Y + 4«&e a ?/V*XV 

 X z= a#V 2 — byij'*, \x z= xyi' + tx r xf 



M. Desboves a vérifié sur un certain nombre d'équations de la 

 forme (1) le théorème suivant : on obtient la solution complète en 

 nombres entiers d'une équation de la forme (1) par autant de 

 systèmes (2) que l'équation a de solutions primitives (x', y',z'). 



Sur la rectification des courbes planes unicursales, par M. Raffy. 

 [Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. CIV, 1887, P« 892.) 



L'auteur se propose de trouver les courbes planes unicursales 

 dont l'arc est une fonction rationnelle des coordonnées et par suite 

 d'un paramètre t. Ces courbes sont les développées des courbes 

 unicursales dont la courbure est une fonction rationnelle de t. 



On obtient toutes les courbes à courbure rationnelle en prenant 

 les enveloppes des droites 

 ( 1 ) g 2 (x -|- iy) — a 2 [x — iy) — 2 y = o, 



où a, g, y sont trois fonctions arbitraires de t, les deux premières 

 entières et la dernière rationnelle. 



