ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 125 



on trouve 



tans a - É=^L J k[kh-k*-Bf (k --*)■} 



» _ ( *' — CA ) ( A/ * — *') — k * ( A — B ) ( B — c )/>* 

 P "" ACM 2 



En éliminant jo 2 entre ces deux équations, on obtiendrait l'é- 

 quation polaire de l'herpolhodie ; mais, pour la discussion, il est 

 plus commode de conserver la variable auxiliaire p, et l'on voit 

 immédiatement que : 



Si K 2 — BA> o, la courbe a la forme d'un ovale symétrique par 

 rapport à l'axe polaire 0% et à sa perpendiculaire Oyj ; 



Si K 2 — BA<o, la courbe se compose de deux ovales symé- 

 triques par rapport à Oyj et coupés symétriquement par O/ ; 



Si K a — Bhzz o, la courbe est analogue à une lemniscate. 



Sur les courbes algébriques rectifiables, par M. Humbert. (Comptes 

 rendus de l'Acad. des sciences, t. CIV, 1887, p. io5i.) 



Il s'agit des courbes algébriques f(x,y)z=zo dont l'arc peut s'ex- 

 primer par une fonction algébrique des coordonnées. 



En désignant par o> une constante et par R une fonction ration- 

 nelle de #,?/, l'arc d'une pareille courbe s'exprimera par la 

 formule 



=*v/2 



*+f 



On conclut de là cette propriété, observée pour la première fois 

 par M. Darboux : 



Toute courbe algébrique rectifiable est la développée d'une 

 courbe algébrique. 



Pour que l'arc s soit une fonction rationnelle, il faut et il suffit 

 que f x +fy soit un carré parfait, c'est-à-dire que la courbe /==o 

 soit une courbe de direction (Laguerre). Il en résulte que les 

 courbes algébriques planes dont l'arc peut s'exprimer par une 

 fonction rationnelle des coordonnées sont les développées des 

 courbes algébriques de direction simples (c'est-à-dire coupées 

 orthogonalement par chaque normale en un seul point); ou bien 



