ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 173 



tielles qui se rattache aux systèmes d'équations linéaires de la 

 forme 





( r.zz a^p + a 2 g + a 3 z 

 < t~b,p + b 2 q + b 3 z 

 ( s — ctf + c 2 q -\-c 3 z 





àz 

 àx" 



__àz _à°'z _ à a -z 

 ày- ~~ àx* ' dxdij ' 



d y 



ou 



p 



et où les a, b, c sont des fonctions des variables x, y. 



Les conditions d'intégrabilité ^— = — , — = — étant supposées 



ày àx ày dx 



satisfaites identiquement, on sait (Appell) que le système (1) admet 



trois intégrales linéairement indépendantes m,., (o 5 , o) 3 . Posant 



w, G)- 



M. Goursat obtient, pour définir directement u et u comme fonc- 

 tions de z et u, le système suivant, linéaire par rapport à chacune 

 des fonctions u et u : 



I àv à- u du à 2 v _ 

 à~yty~~àyty~' 



(3) 



ou 



ou 2 u du ô'u / dit à*v àv à-u \ 



ou à- u au d 2 u / ou à- u à u 2 u \ __ 



ôy oV ôy ç)# 2 " \ô\Fd.rô>/ ëxàxày / 



ou ô 2 u Ou ô 9 w __ :■ 



àx àx' àx àx' ~ 



k — bt, B=:6 2 — 2C 17 G — fit, — 2c 2 , D-a 2 , 



ou ou ou ou 



Ô# Ôy 0# Ôy' 



L'intégrale générale des équations (3) est 



/(0 1 -ffflW, + n(i) 3 _ /,(*>, 4- 7^(0,-1-^(1)3 . 



elles ne changent pas quand on effectue sur u et u une substitu- 

 tion linéaire quelconque. 



