176 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Alors l'intégrale 



n'aura pas de périodes ; elle sera de la forme 



A + ®{x) \/R(x) , 

 A étant une constante et © une fonction entière. On en déduit 



2p+l 



G (a?) = i R'{x)®(x) + R(a?) ®'{x) + ^ ty a* 1 '. 



î 

 On trouve aisément celles des intégrales u dont toutes les pé- 

 riodes sont des multiples de 2tu; elles sont comprises dans la for- 

 mule 



v — m l v 1 + m 2 v 2 4- ... + m tpJri v ±p+l + o{x) \/R(x) + A, 



où les m sont des entiers et où 



J2p+I 

 k/R(x) 



dx, 



\/R(x) 



les a étant déterminés de telle sorte que Qi z~ : 2 tu, Û/ c z= (A; ^ i). 

 On peut choisir la constante A de manière que cos v soit une 

 fonction uniforme et par suite entière de x. Cette fonction à (x) 

 satisfaisant à l'équation différentielle 



dà _G(x)dx 



il en résulte pour à l'identité 



1 — ^ 2 = R(^)x 2 . 

 Si donc on pose 



on a une substitution entière qui transforme le cercle 



X 2 + Y 2 — 1 — 

 en la courbe 



y\— 'R(j?) = o. 



De même les intégrales w qui n'ont que deux périodes condui- 

 sent à la transformation de la courbe 



y=(i-f)(i-*Y) 



en la courbe 



y« = R(4 



■ ~i g a 1 11 — • — 



