ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 317 



de celle de Laplace, qui repose sur l'introduction des deux pre- 

 mières dérivées des latitudes et des longitudes géocentriques. 

 Entre ces deux méthodes M. Radau opère une sorte de fusion qui 

 conduit à un procédé de calcul très simple. 



Sur une classe d'équations différentielles du premier ordre et sur 



LES FORMATIONS INVARIANTES QUI S'y RAPPORTENT, par M. R. LlOU- 



ville. (Comptes rendus de VAcad. des sciences, t. GV, p. 46o, 1887.) 



Dans une communication précédente, l'auteur a montré comment 

 l'équation du premier ordre 



(1) xf + a t y 3 +3a 3 î/ 2 + 3a 3 î/ +-«*=: o 



peut se ramener aux quadratures, s'il existe entre ses coefficients 

 et leurs dérivées certaines relations; à ce sujet, il a signalé deux 

 invariants de l'équation (1), S 3 , S 5 (de poids 3 et 5) pour les trans- 

 formations 



dx 



Ces deux invariants doivent aussi être invariants de l'équation 

 du second ordre 



(3) Y f ' + a l Y' 3 -j~3a 2 Y' 2 + 3a 3 Y' + a 4 =:o 



pour les transformations 



Cl T 



W) ^ =F(a!) ' Y = Y « + *(*)• 



Or, si l'on pose en général 



S 9 \. = a. S' — [im— i)S Va'. i3(o!- a A aS], 



2m -pi 1 2m — i v > m — 1 |_ 1 \ 2 i è) J 



les expressions S 7 , S 9 ,. ..jouissent aussi de la propriété d'invariance 

 à l'égard des substitutions (2) et (4), et leur poids est égal, à leur 

 indice. 



Cette série d'invariants donne un moyen commode de traiter 

 les questions relatives à l'équation (1), par exemple celle-ci: 



Trouver les conditions que doivent remplir les coefficients de 

 l'équation pour qu'elle soit réductible à la forme 



(5) '^+y> l +kx t y> = , 



h étant une constante. 



