320 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



Un théorème sur les lignes géodésiques de l'ellipsoïde de révolution 

 allongé, par M. Halphen. [Comptes rendus deVAcad. des sciences, 

 t. CV, p. 536, 1887.) 



Toute ligne géodésique tracée sur un ellipsoïde de révolution 

 allongé se projette sur le plan de l'équateur suivant une courbe 

 qui peut être engendrée par une ellipse à centre fixe et roulant 

 sur ce plan. 



Si l'on appelle A,B (A>B) les axes de l'ellipsoïde ; G le rayon des 

 parallèles tangents à la ligne géodésique; a,ù (a>b) les axes de 

 l'ellipse roulante ; h la distance de son centre au plan de rou- 

 lement, on a 



b°- — h 2 — C\ o:- — fv — B\ à 2 = ^. 



Un théorème sur les arcs des lignes géodésiques des surfaces de 

 révolution du second degré, par M. Halphen. (Comptes rendus 

 de VAcad. des sciences, t. GV, p. 583, 1887.) 



Les tangentes de toute ligne géodésique d'une quadrique de 

 révolution coupent chaque surface homofocale suivant deux 

 courbes distinctes,, égales entre elles et qui peuvent être ramenées 

 l'une sur l'autre par une rotation autour de l'axe. 



Chaque point de l'une des courbes a donc sur l'autre son homo- 

 logue, ou plutôt une infinité d'homologues, car chacune de ces 

 courbes, comme la géodésique elle-même, se compose 4'une infi- 

 nité de branches égales, disposées de la même manière autour de 

 l'axe de révolution. 



Voici le théorème de M. Halphen : Sur les deux courbes d'in- 

 tersection d'une surface homofocale on prend deux points 

 homologues y, y'. En chacun d'eux passe une tangente à la géodé- 

 sique. Soient x,x' les points de contact ; s,s' les arcs de géodésiques 

 aboutissant à x,x' et comptés à partir de deux points fixes; 

 m le nombre des points à l'infini qui séparent x et x' . La différence 

 s' — s et la somme #?/+( — i) m x'y' diffèrent par une longueur cons- 

 tante (+ si la surface homofocale ne rencontre pas la géodésique, 

 — dans le cas contraire). 



Lorsque la ligne géodésique se réduit à un méridien, cette pro- 

 position se confond avec des théorèmes bien connus sur les arcs 

 d'ellipse et d'hyperbole. " L. R. 



