528 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



stitutions a- linéaires et homogènes de déterminant non nul. (La 

 crémonienne s du plan se trouve, grâce à la substitution c, repré- 

 sentée dans l'espace par un simple changement de coordonnées 

 homogènes ou du triangle de référence ; c'est là la raison de la 

 représentation géométrique adoptée par l'auteur.) 



On peut dès lors transporter dans la théorie des équations diffé- 

 rentielles du premier ordre les nombreux résultats obtenus dans 

 la théorie des formes quaternaires. La seule précaution à obser- 

 ver, c'est que les coefficients aij de la substitution 



soient choisis de manière à transformer les courbes intégrantes 

 I de la surface S en des courbes intégrantes de la surface trans- 

 formée. 



M. A utonne applique sa méthode de transformation et d'inté- 

 gration aux cas deÀzzi et A — 2. 



Dans le cas de A — 1, le connexe F-o est linéo-linéaire et H 

 s'intègre par des procédés bien connus. 



Dans le cas de A zz 2, H est de la forme 



* ri,— 1 2r '~^ 1=0 ( P =*i 



ù étant un polynôme quadratique quelconque. On peut en géné- 

 ral trouver une crémonienne quadratique s de façon que la forme 

 quaternaire P devienne, après avoir été transformée par g 



ou : 



P" = z* + z\ — k-z\ (k = const.) 



Alors la surface S est de révolution autour de l'axe de z et a 

 pour équation en coordonnées semi-polaires r et G 



2/vZ=zr 2 ou r 2 = /î; /2 . 



Les courbes I se projettent sur le plan des xy suivant les spi- 

 rales logarithmiques x zz Ce^° ou sont les hélices z z± & 2 6 -f- G 

 du cylindre r=z k'*. On conclut de là que Ç, yj, p sont des fonctions 

 rationnelles B, D de G, 0, sinô, cosô, e k ®- Il suffit d'éliminer. 6 

 entre les expressions de Ç, y] pour avoir l'intégrale *F(Ç, r h C) = o 

 de l'équation transformée de H par la crémonienne s. 



