ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 533 



Si l'on pose 



t à (' àa, \ ! da l 



' = "¥ v¥~ + " a ' a, l ~ ai \-^~ da ' a 



r ô.x' \ àx ày V \ àx ày 



à ( àa. - V , / ôa 4 ■ \ 



( à / ô« 3 Oa \ o / àa, ôa, 



1 A»/ \ rW/ (S.r. ' * 4 / 



ày \ ày àx 4 / * \ ôy ôx* 



l'expression 



r /t ^L» t ôL.\ , _ / T ÔL. , ÔL 2 \ 



— a x LJ -h3a 2 L^L 2 — 3a :i L,L; -j-a^l 



est un invariant relatif de poids 5, c'est-à-dire se reproduit mul- 

 tipliée par la 5 e puissance du déterminant 



àx ày àx ày 



àx i ày, ày, àx, ' 



D'ailleurs; à chaque invariant v m de poids'ra, fonction entière 

 des coefficients et de leurs dérivées, correspond un autre invariant 



,. àv m _ àv m / ÔL. ÔL, 



»* + 2 l ày . * àx m \ àx ày 



En partant de v h , on peut donc calculer les invaria 



v 7 , v 9 ..., et par suite deux invariants absolus distincts 



qui, pris pour variables dans l'équation proposée (î), lui donnent 

 une forme canonique. 



De là résulte la solution des problèmes suivants : 



i° Étant données deux équations telles que (i\ reconnaître si 

 elles sont réductibles l'une à l'autre par l'une des transfor- 

 mations (2) ; 



•2° Obtenir les substitutions dont l'existence a été établie. 



Parmi les équations (1) se trouvent celles des lignes géodésiques 

 des surfaces quelconques. Ici ce sont les coefficients de l'équation 

 géodésique que l'on regarde comme donnés et non l'expression de 

 l'élément linéaire sur les surfaces correspondantes. Les systèmes 

 géodésiques tracés sur deux surfaces peuvent être amenés à 

 coïncider, sans que les surfaces soient applicables l'une sur l'autre. 



VZ V] 



