872 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 



La série II satisfait à l'équation aux dérivées partielles 



ô# """o7 ; 



II est donc une fonction de x-\-z. En supposant R(#) = i, on 

 retrouve la formule de Taylor. 

 Si l'on pose 



/•=A + V + A 2 * 2 +... 



RzzBo+B^ + B, *» + ... 



nz=c + c^ + c 2 ^ + ... 



on voit facilement que la série II est le produit des deux séries 

 / et R, ce qui donne pour le calcul des coefficients de II la formule 



C p — A B p + A t Bp-i + ... + A P B . 

 Si la série R n'a pas de zéros, elle est de la forme de e™ h Posons 

 R' — e~ * {t) ~ B ' + B[t + B 2 '* 2 + . . . 



Bp 



'oP 



La série /"sera le produit des séries II et R'. On en conclut 



*'(*)=!; JK 



f{x)=Z^ CnR'-n{x) 



c'est-à-dire qu'une fonction entière est développable en série con- 

 tenant les intégrales de la fonction R'(x). 



Deuxième note sur le développement des fonctions satisfaisant a 

 une équation différentielle, par M. Gomes Teixeira. (Annales de 

 V École normale, 3 e série, t. IV, 1887, p. 107.) 



La série. 



a o + a i X + a 2 & + • • • + a n* n + • • -, 



où a , a,, a 2 ,... représentent des fractions réduites à leur plus 

 simple expression, ne peut être le développement d'une fonction 



