ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES 873 



définie par une équation algébrique en x, y, y',. ..yW, à coefficients 

 entiers 



F (a?, y, y',... y(«) = o, 



si les dénominateurs dea n +i, fln+2, ... contiennent indéfiniment 

 des facteurs premiers respectivement supérieurs à n + 1 , n -f- 2, .... 



Sur une classe d'équations différentielles linéaires non homogènes, 

 par M. Floquet. (Annales de V Ecole normale, 3 e série, t. IV, 1887, 

 page 111.) 



Soit l'équation linéaire. 

 d m ii d m — ^y 



ou, pour abréger, 



P(y) = x(x), 



dans laquelle les coefficients^,^,..., p w sont supposés uniformes, 

 périodiques de période 10, avec l'infini pour seul point essentiel; 

 7u ,TC lv ..7Un sont aussi des fonctions uniformes de x, sans autre 

 singularité essentielle que l'infini, mais périodiques de seconde 

 espèce, de même période w et de même multiplicateur s. 



Cette équation, comme le montre M. Floquet, admet toujours 

 une solution de la forme 



£[x) zz Xo 0) +a?Xi 0») + x "7.2 (?) + ..-+■ & S X S 0»), 

 où les coefficients 7 (x) sont uniformes, périodiques de seconde 

 espèce, de période w et de multiplicateur s. 



Si l'équation privée de second membre n'a aucune solution de 

 multiplicateur s, ce polynôme £(a?) est unique et son degré s est 

 égal à n. 



Mais si P (y) == a y. solutions fondamentales appartenant au 

 multiplicateur e, les coefficients du polynôme renferment linéai- 

 rement {j. constantes arbitraires. Il y en a donc une infinité qui 

 répondent à la question ; mais leurs degrés sont tous compris 

 entre n et n + m ou égaux à l'un de ces deux nombres. 



Voici d'ailleurs une proposition qui donne souvent des indica- 

 tions sur la nature des coefficients d'une solution & (x) et qui 

 fournit pour le degré v de cette solution une limite supérieure 

 généralement plus petite que n + p : 



£(x) étant une intégrale de l'équation P(y) — tû(#), les v dérivées 



