152 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



MÉMOIRE SUR LA COMPOSITION DES POLYNOMES ENTIERS QUI ^ADMETTENT 

 QUE DES DIVISEURS PREMIERS D'UNE FORME DETERMINEE , par M. Le- 



fébure. (Annales de VEcole normale, 3 e série, t. I, p. 389; 

 i88A.) 



L'auteur se propose de déterminer des polynômes entiers qui 

 n'admettent que des facteurs premiers de la forme HT-j- 1, T dé- 

 signant un entier arbitraire. 



I. Soit T = n*, n étant premier. Considérons le polynôme 



F n (A,B) = A w -^+A tt - 2 B + ... + AB"- 2 + B w - 1 = ^-=^, 



A — xS 



dans lequel A et B sont des entiers quelconques premiers entre 

 eux. 



Si A et B sont des puissances n ièmes , A = C\ B = D w , les divi- 

 seurs premiers de F n (A, B) sont de la forme Hw 2 -|- 1. 



Plus généralement, si A et B sont des puissances égales de puis- 

 sances n ièmes , A = G n * -1 , B = D n '~ 1 , les diviseurs premiers de 

 F» (A, B) sont de la forme Hw* + 1 - 



IL Soit T' == nhn } \ n et m étant premiers. Considérons la fonc- 

 tion F n (f£, v n ), où u=G mh ~ lnt -\ t, = D^" lnfrl . Le quotient 

 H mn = f Y ; x es t un polynôme entier dont les diviseurs premiers 



Pn(tt,v) L J L 



sont de la forme HW ! n f -f 1. On peut l'écrire encore : 



■pj- ^ Fui '(«»,»») («m» — «»*») (u — v) 



III. Soit T==n*m** & . Le quotient 



•p|- Fn (M» ns , «»»*) F» (M, v) ( M »w»i_t>»«*»)(M»» — «»») («* — «»)(«» — «») 



MmS Fn (w m , V m ) F n (W s , V s ) (u ms — V ms ) (w mre — V mn ) (u sn — V sw ) (u — v) ' 



dans lequel 



est un polynôme entier dont les diviseurs premiers sont de la 

 forme Hw'mV 4- 1 . 



