298 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



des polygones à ia fois inscrits et circonscrits aux cubiques planes. 



ce Complètement traitée par divers auteurs dans le cas où la 

 courbe est unicursale, dit M. Picquet, l'étude de ces polygones, 

 dans le cas où la cubique est la plus générale de son degré, se dé- 

 duit si facilement de la représentation des courbes du premier 

 genre à l'aide des fonctions elliptiques que l'on doit supposer 

 qu'elle a été abandonnée par l'illustre Clebsch aux recherches de 

 ses élèves. » 



Soit m 1 l'une des valeurs de l'argument correspondant au pre- 

 mier sommet d'un polygone de n côtés à la fois inscrit et circon- 

 scrit à une cubique générale. La condition exprimant que le poly- 

 gone se ferme est 



G amK -f- 2/m'K' 



où 2K et 2tK' représentent la période réelle et la période imagi- 

 naire, m etp tous les nombres entiers tels que, pour deux systèmes 

 différents, la différence des valeurs correspondantes de u L ne soit 

 pas un multiple des périodes. Le nombre total des sommets est par 

 suite [a" — (— i) n ] 2 , ou plutôt [a n — (— i) n ] 2 — 3 2 , en retranchant 

 les points d'inflexion, qui font partie de la solution. 



M. Picquet déduit de là le nombre des polygones de n côtés, 

 dont l'expression est différente suivant que n est premier, impair 

 non premier, ou pair; il en résulte divers théorèmes d'arithmétique 

 sur la divisibilité par n. 



L'auteur étudie ensuite les polygones curvilignes à la fois inscrits 

 et circonscrits aux cubiques planes. Supposons qu'une courbe du 

 degré (jl ait en un point déterminé 3^ — 1 points consécutifs con- 

 fondus sur la cubique : elle n'est pas déterminée; mais, quelle 

 qu'elle soit, elle rencontre la cubique en un dernier point qui est 

 fixe. Si l'on opère sur ce point comme sur le premier, et ainsi de 

 suite, on obtiendra une espèce particulière de polygones curvilignes, 

 fermés si le premier sommet est convenablement choisi, dont les 

 côtés sont indéterminés, mais dont les sommets sont parfaitement 

 déterminés, qui sont à la fois inscrits et circonscrits à la cubique, 

 circonscrits par des contacts d'ordre 3pt — 2. 



La condition pour qu'un pareil polygone se ferme est 



G , 2mK + 2»î'K' 



1 3 I j _ (! _ fy), 



