ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 301 



multiples des périodes près. Si a est positif, u est également réel; 



si a est négatif, u est de la forme — - -J- iz , z étant réel. 



Si D est positif et que les quantités pv, g 2 , g 3 satisfassent aux 

 inégalités 



p>o, 2# 2 p + 3# 3 :> o , 



les racines de X sont réelles , et l'argument v est aussi réel. Dans le 

 cas contraire, les racines de X sont imaginaires, et l'argument v a 

 la forme v -\-co 3 , v étant réel, œ 3 étant Tune des demi-périodes 

 cj 19 <w 2 , w 3 . Si a est positif, quel que soit v, u peut parcourir les 

 deux séries de valeurs distinctes z et gj 3 -\-z; si a est négatif, 



u est égal à f- iz ou bien à h ^î + &• 



M. Halphen termine par l'étude de l'équation pu — pv = o. 



Les invariants étant réels, ainsi que l'argument donné v (com- 

 pris entre zéro et la période réelle positive) , les racines u de l'équa- 

 tion — = o , à des périodes près , ont les formes suivantes : 



i° Discriminant négatif. — I. g 2 X), g 3 <zo. Deux arguments 

 v' , v^ réels, compris entre zéro et w 2 , étant déterminés par les re- 

 lions 



K=+\/f, K=-\/f ' 



,les racines sont réelles si v est compris entre v ' et v/ ou entre 



26> 2 — V ± ' et 2Cl> 2 — V à [. 



II. Dans les autres cas, les racines ont la forme [-iz, où z 



est réel. 



2° Discriminant positif. — Un argument v réel, compris entre 



zéro et * 1; étot déterminé par la relation '*-+$, » * 

 cines ont la forme (z + &> 3 ), où z est réel, si v est compris entre 

 v et 2«w 1 — v '; elles ont la forme 1- a^ + *&} s * v es t supérieur 



■y 



2^ — 1>' ; et la forme -+■&, si « est inférieur à v '. 



