302 REVGE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Sur une courbe élastique, par M. Halphen. (Journal de l'École 

 polytechnique, 54 e cahier, p. i83; 1884.) 



Ce travail, où sont utilisés les résultats obtenus dans la note 

 précédente, a pour point de départ un problème posé et en partie 

 résolu par M. M. Lévy : «Un anneau circulaire étant soumis, sur 

 tout son périmètre, à une pression toujours normale et uniforme, 

 située dans son plan, quelle est la condition pour que la forme cir- 

 culaire soit la seule ligure d'équilibre de cet anneau? a 



L'emploi des intégrales elliptiques a permis à M. M. Lévy d'éta- 

 blir une condition suffisante qui diffère peu de la condition pré- 

 cise à la fois nécessaire et suffisante. Au moyen des fonctions 

 elliptiques inverses, M. Halphen donne la solution complète du 

 problème, solution prévue d'ailleurs par M. M. Lévy. 



La nouvelle courbe élastique, examinée géométriquement, pré- 

 sente d'ailleurs bien des formes différentes, dont deux seulement 

 conviennent au problème en question. L'auteur énumère toutes ces 

 formes et exprime leurs éléments par des développements en séries 

 explicites; pour rendre ces séries réelles, il a dû distinguer trois 

 catégories de formules. 



Au point de vue mécanique, chaque équilibre de flexion d'un 

 prisme droit chargé debout ne peut avoir lieu que si la charge 

 excède une certaine limite. Si donc la charge est au-dessous de 

 cette limite, une seule figure d'équilibre est possible, la ligure na- 

 turelle; c'est alors un équilibre stable. L'analyse ainsi conduite fait 

 connaître une limite de la charge qui préserve de toute flexion. 



Cette méthode (appliquée par M. M. Lévy à l'anneau comprimé 

 normalement) fournit en général des conditions de stabilité suffi- 

 santes et non nécessaires. M. Halphen démontre qu'une verge élas- 

 tique circulaire , dont les extrémités sont fixes et qui n'est soumise à 

 aucune force, est susceptible d'une infinité de figures d'équilibre. 

 Si cette verge est soumise à des forces quelconques permettant 

 l'équilibre sous la forme circulaire, la méthode précédente ne 

 pourra fournir une limite de ces forces préservant de toute flexion. 



L'auteur résume ainsi les cinq parties de son mémoire : 



«Le premier paragraphe contient la représentation des éléments 

 de la courbe élastique par des fonctions elliptiques d'un paramètre. 

 Le deuxième paragraphe est consacré à la discussion des formules, 

 poussée aussi loin qu'il a été possible en conservant les algorithmes 



