370 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



tiel de volume. L'équation de Poisson y est établie avec beaucoup 

 de soin. En démontrant la formule de Green, Fauteur fait observer 

 que cette formule est celle qui sert à déterminer les coefficients de 

 la série qui donne le refroidissement d'un corps; elle a donc été 

 employée dans différents cas par Fourier et Poisson longtemps 

 avant l'apparition du mémoire de Green sur la théorie de l'élec- 

 tricité. La démonstration que M. E. Mathieu donne du principe de 

 Dirichïet ne prouve pas immédiatement que AV soit nul en des 

 points, lignes ou surfaces situés dans le champ de l'intégration. 

 Mais il est prouvé dans le chapitre n que les dérivées d'ordre quel- 

 conque du potentiel sont continues, et que par conséquent AV ne 

 peut être différent de zéro en aucun point. Le chapitre i se termine 

 par l'établissement de diverses formules intéressantes relatives à 

 Y énergie d'un système de masses. 



Le chapitre n est consacré au potentiel de surface. La théorie de 

 ce potentiel peut être exposée de deux manières très différentes. On 

 peut, comme Gauss, étudier l'attraction des couches, en supposant 

 immédiatement que leur épaisseur est nulle ou que la densité de 

 la matière, dans le sens ordinaire du mot, est infinie. On peut, 

 comme Poisson et.Laplace, supposer d'abord l'épaisseur très petite. 

 M. Mathieu opte pour cette dernière méthode, qui est plus générale. 

 En menant un plan tangent par un point a de la surface interne 

 de la couche, on divise cette couche en deux segments. Si l'on 

 considère l'épaisseur ha = s du plus petit segment comme infini- 

 ment petite, une analyse très complète de M. Mathieu donne, 

 pour la différence des composantes normales de l'attraction en a et 

 en A, l'expression 



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lmT)s - IxB \/ïKs 2 , 



où D représente la densité (de volume) de la couche en a, et K 

 une intégrale définie qui dépend des deux courbures principales en 

 ce point. Ce calcul suppose que D soit développable au point a par 

 la série de Taylor. On conclut de là la formule bien connue rela- 

 tive à la densité de surface. Le calcul de M. Mathieu met en évi- 

 dence l'inexactitude que Poisson a laissé échapper en disant : ce En 

 négligeant les quantités du second ordre par rapport à l'épaisseur de 

 la couche , l'attraction du grand segment est évidemment la même 

 sur les deux points A et a. •>■> La différence est de l'ordre de Dey/s et 

 non de l'ordre de De 2 . Vient ensuite l'étude des fonctions qui peuvent 



