ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 371 



être représentées par des potentiels de surface. Cette théorie, qui 

 repose sur une formule célèbre de Green et Gauss, est trop connue 

 pour que nous y insistions. 



Dans le chapitre in , Fauteur s'occupe du potentiel logarithmique, 

 du potentiel calorifique et du second potentiel. Les propriétés du 

 potentiel logarithmique diffèrent peu, comme on sait, de celles du 

 potentiel ordinaire à trois variables. L'équation Au = — a 2 u, que 

 l'on rencontre dans la théorie de la chaleur, amène M. É. Mathieu 

 à la conception du potentiel calorifique. Cette équation admet pour 

 solution l'intégrale 



/cos ar 7 

 — — part, 



où p et drt désignent respectivement la densité et l'élément de vo- 

 lume de masses continues. Cette intégrale, que l'auteur appelle 

 potentiel calorifique, jouit de propriétés analogues à celles du poten- 

 tiel ordinaire V. Elle satisfait en dehors des masses à l'équation 

 Aw-|-a% = o, et, à l'intérieur de ces masses à l'équation 

 Au -f- a?u = — kirp ; si une fonction v de x , y , z satisfait à l'équa- 

 tion Av = a?v dans l'intérieur d'une surface cr et qu'elle y soit con- 

 tinue avec ces dérivées premières, elle peut être considérée dans 

 cet espace comme le potentiel calorifique d'une couche distribuée 

 sur a, etc. L'équation AAw = o, que l'on rencontre dans la théorie 

 de l'élasticité, donne lieu à la théorie du second potentiel, dévelop- 

 pée par M. É. Mathieu. On satisfait à cette équation au moyen de 

 l'intégrale 



w = I rCpdzs. 



Le second potentiel w vérifie, à l'intérieur de la masse de densité 

 (f , l'équation AAw = — 87r(p. Il existe une fonction , et une seule, qui , 

 à l'intérieur d'une surface fermée a, satisfait à l'équation AAw = o, 

 qui y varie d'une manière continue avec ses dérivées des trois pre- 

 miers ordres, et qui, à la surface, prend, ainsi que son A, des va- 

 leurs données; toute fonction u assujettie aux conditions précé- 

 dentes est la somme du premier potentiel d'une couche qui recouvre 

 la surface a et du second potentiel d'une autre couche recouvrant 

 la même surface. Au potentiel calorifique et au second potentiel 

 correspondent des potentiels à deux variables, comme le potentiel 

 logarithmique correspond au potentiel ordinaire. 



