372 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Dans le chapitre iv, M. Mathieu compare la théorie du potentiel 

 à celle de la chaleur. Beaucoup de théorèmes sur le potentiel de- 

 viennent évidents quand on leur substitue les propositions corré- 

 latives concernant l'équilibre de température. Les surfaces de niveau 

 peuvent être considérées comme des surfaces isothermes, et récipro- 

 quement. L'étude des cônes isothermes met immédiatement en évi- 

 dence la propriété qui, en électrostatique, correspond ru pouvoir 

 des pointes. L'auteur étudie les caractères généraux des courbes iso- 

 thermes, qui, au point de vue physique, doivent être considérées 

 comme les sections droites de surlaces cylindriques indéfinies dont 

 chaque génératrice est entretenue dans toute sa longueur à une 

 même température. Il montre comment la connaissance du système 

 isotherme dont font partie deux courbes (ou une seule courbe) 

 données permet de résoudre ce problème: Déterminer une fonction V 

 qui satisfasse, dans l'intérieur de l'aire doublement ou simplement 

 connexe, à l'équation AV = o, et qui prenne sur le contour des 

 valeurs données (les conditions de continuité de la fonction et 

 de ses dérivées premières étant réalisées). Les familles de lignes 

 isothermes sont d'une importance spéciale dans la théorie des 

 membranes en vibration; ces lignes coïncident en certains cas avec 

 les lignes nodaies. Les diverses transformations de l'équation AV=o 

 fournissent à M. Mathieu l'occasion de faire connaître des formules 

 importantes, relatives à la différentiation par rapport à des arcs. Un 

 arc s et la normale n en un de ses points ne constituent pas un véri- 

 table système cle variables, c'est-à-dire qu'on ne peut pas interver- 

 tir l'ordre des différentiation s d'une fonction par rapport à s et à n. 

 L'auteur étend aux surfaces ses formules relatives aux arcs; elles lui 

 permettent, entre autres résultats, de retrouver avec la plus grande 

 facilité l'équation de Lamé, qui donne l'expression générale de AV 

 en coordonnées curvilignes orthogonales. Le chapitre iv se termine 

 par la théorie du potentiel dans les corps cristallisés. L'équation 

 de l'équilibre de température dans les corps cristallisés, 



donne lieu au potentiel 



