ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 433 



§ 8. 



MATHÉMATIQUES. 



Etude sur les maxima, minima et séquences des permutations , par 

 M. D. Aîndré. (Annales de l'Ecole normale, 3 e série, t. I, p. 1 2 1 ; 

 188A.) 



Considérons toutes les permutations sans répétition que l'on 

 peut former avec n nombres inégaux. Dans Tune quelconque d'entre 

 elles, un nombre placé entre deux autres est un maximum s'il les 

 dépasse tous deux, un minimum s'il leur est inférieur; un nombre 

 placé au commencement ou à la fin de la permutation est un maxi- 

 mum s'il dépasse le nombre voisin , un minimum s'il ne le dépasse 

 pas. On appelle séquence une suite de nombres juxtaposés, dont le 

 premier est un maximum et le dernier un minimum ou réciproque- 

 ment, mais dont aucun intermédiaire n'est ni un maximum ni 

 un minimum. 



M. André nomme permutations (ra, s) les permutations de n 

 éléments qui présentent s séquences, permutations [rc, #, yî~\ les 

 permutations de n éléments qui présentent [i maxima et p minima ; 

 il désigne par P WjS le nombre des premières, par M n > celui 

 des secondes, et se propose de trouver une méthode simple pour 

 calculer les nombres P n s et ML ,, „*. 



Le nombre s des séquences est toujours égal à (jl -\- \l — î . La 

 différence \i — y! ne peut avoir que l'une des trois valeurs 

 -f- î , o , — î . Il suit de là qu'il existe trois sortes de permutations 

 [n, jw, jLt'], savoir : les permutations [n, o*-f- î, <j], les permuta- 

 tions [», o-, a ] et les permutations [n, a, a-\- i]. Les trois rela- 

 tions 



m = p m M ip 



" x n,a,a L m, 2cr— 1» -"n, cr-j-i, a iU w,cr,o--fi 2 n, 2<r 



ramènent le calcul des nombres M à celui des nombres P. Relati- 

 vement à ces derniers , l'auteur démontre une formule fondamen- 

 tale, qui résout le problème, en donnant un moyen régulier et 

 simple de calculer de proche en proche les nombres P„, s : 



"», s ~ s "n—i, s"T %"n-i, s-i T~ \ n ~ 5 ) P«-i, s-2* 



