ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 435 



I. m:>o. 



La fonction F (z) étant méromorphe , il existe entre ses infinis 



a 1T a 2 y. . . , a p et ses zéros /3 X , /3 2 , . . . , /3 m +p la relation 



2/3 fi= 2a + »*K = 2rcK -|- 2^^'K'* 



Le cas le plus simple est celui où F (z) est entière. C'est alors 

 une fonction linéaire et homogène à coefficients constants des m 

 fonctions particulières 



^W=a"K" 2 e -T~ q™(«->)+™ [„ = o, ,,,,...,(„-,)], 



n= - co 



où ç désigne la quantité e K . 



Si F(z) est une fonction méromorphe à pôles simples, on peut 

 prendre pour élément de décomposition la fonction 



mitiez — a)i 

 J, /* \^ "~^ H'(o) H(z-g,)H(z-q,)^.H(g^-flm+t) 



^ m (Z, a) — e H(z-a)H(a-a 1 )H(a-« 2 )... H(a-a m +i)' 



oùfl 1? fl 2 ,..., « m désignent des constantes arbitraires, a m+t étant 

 déterminé par la relation 



a m + 1 = a -}~ mK — fi^ — tf 2 — • • • — a m- 



Cette fonction \|/ OT (2, a) âdnlet pour pôle simple le point a, 

 avec le résidu -f- 1; elle vérifie les deux équations 



K 



Soient maintenant a x , a 2 ,. . ., a p les p pôles simples de F (z), 

 Rjl, R 2 ,. . ., Rp les résidus correspondants, la formule de décompo- 

 sition cherchée est 



F( z ) = R 1 4, m ( 2 , ai ) + R 2l f- m ( z , a2 ) + ...+R^ m (z, a ) + G(z), 



où G (z) est une fonction entière satisfaisant aux relations (2), 



exprimable linéairement au moyen de m fonctions entières connues. 



Lorsque le pôle a est d'un degré r plus élevé que le premier, on 



