436 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



doit, dans la formule de décomposition, remplacer le terme 

 R 2 \J/ m (s, «i) par la somme 



R 1 +.(*,« 1 )+R' 1 f.(z, «!)+... + ,. t B : ( 7 r < l 1) *ir ,) (*.«) 



où\|a _l) est la (r— i) e dérivée de \J/ m par rapport à a, et où R r , 

 R'j,. . . , R^"" 1 ' sont les numérateurs des fractions élémentaires dont 

 la somme constitue la partie principale de F(z) dans le voisinage 

 du pôle multiple z = a. 



Enfin, si a est un point essentiel isolé, il suffit de faire r = oo. 



II. ffl<0. 



Faisons m = — p. Il conviendra de prendre pour élément de dé- 

 composition la fonction : 



n= +00 (xmtai 



n 



= + 00 



(imtat 









K 







717 

 1 



1 



K 



e 



qpn(n- 



-1) 



e 



71 



■■(*- 



fl) ! 



+ ^ an 



n 



= -00 









e 



K 





_^an 



Cette fonction admet, dans le parallélogramme des périodes, le 

 pôle simple et unique a , avec le résidu -)- 1 . Elle vérifie les deux 

 relations 



^(^ + 2K,a) = ^(z,a), 



fZWfcl 



/ ftltZl \ 



g- 



( fi — 1 ) itzi ( /x — 2 ) wzi 



Tri K IL , x ni K 



rczi 



*?(«)-£« #(«)- 



où les /tx fonctions g sont celles qui ont été définies précédemment. 

 La formule de décomposition est cette fois 



Mais, tandis que dans la première formule de décomposition 

 les résidus étaient indépendants des pôles correspondants, il existe 

 actuellement p relations entre les résidus R 2 , R 2 ,. . ., R ? et les 



pôles a x , a 2 ,. . ., a p , savoir : 



