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où Ç> (x) i (p l (.#), . . ., (pi(x) sont des fonctions de seconde espèce 

 de période co et de multiplicateur g;. Si Ton désigne par n le 

 nombre des racines distinctes de A et que l'on pose X 1 -f- A 2 -f- . . . 

 -|-A n = i>, P = o admet comme intégrales distinctes v fonctions 

 S (x) et v seulement, S l (x), S 2 (x), . . . , S„ (x). 



Mêmes conclusions si l'on envisage la seule période co '. On trou- 

 vera une autre équation fondamentale A' = o , admettant ri racines 

 distinctes. Chacune d'elles s'i est caractérisée par les nombres X';, 

 fi'i. P = o admettra v solutions S\(x), S' 2 (#), ..., S'„' (x) de 

 seconde espèce et de période co'. 



Cela posé, l'auteur cherche les intégrales de l'équation P = o 

 qui sont doublement périodiques de seconde espèce. Si, parmi les v 

 intégrales S (x) ou les v intégrales S'(#), une fonction se trouve 

 seule de son multiplicateur, elle est doublement périodique de 

 seconde espèce. Si donc l'une des deux équations fondamentales 

 n'a que des racines simples (ce qui est le cas général), l'équation 

 P = o admet comme intégrales distinctes m fonctions doublement 

 périodiques de seconde espèce (théorème de M. Picard). Le 

 nombre maximum N de ces intégrales ne peut surpasser v et v\ 

 mais il ne peut tomber au-dessous de n et de ri. L'équation P = o 

 admet donc toujours au moins une intégrale doublement pério- 

 dique de seconde espèce, comme l'ont démontré MM. Picard et 

 Mittag-Leffler. Pour que le nombre N soit égal à m, il faut et il 

 suffit que toute racine de chaque équation fondamentale annule 

 tous les mineurs du premier membre jusqu'à l'ordre marqué 

 par son degré de multiplicité exclusivement. M. Floquet démontre 

 divers théorèmes sur les limites t>, v' et n, ri du nombre N. 



Il passe ensuite aux intégrales qui ne seraient pas des fonctions 

 doublement périodiques de seconde espèce. Il les obtient en cher- 

 chant les solutions susceptibles des deux formes ^(x) et <%' (x). 

 Finalement, il parvient au résultat suivant : 



L'équation P = o admet m solutions distinctes affectant la forme 

 de polynômes aux deux variables x et Z(#), les coefficients de 

 chaque polynôme étant des fonctions doublement périodiques 

 de seconde espèce, de mêmes multiplicateurs, aux périodes co et 

 co '; Z (z) désigne une fonction uniforme qui augmente de quan- 

 tités constantes quand on y remplace x par x-\-œ ou par x-\-œ : 



Z(x + co) = Z(x) + q, Z(x + co') = (x) + q, 



