lilxl REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



indéfinie. On suppose habituellement que la fonction est dévelop- 

 pable en série suivant les puissances croissantes de la variable; 

 mais les formules en question sont applicables dans des cas beau- 

 coup plus étendus. 



Soit/(#) une fonction donnée, qui ne devient pas négative quand 

 x prend les valeurs finies a, b et toutes les valeurs intermédiaires. 

 On suppose f(x) intégrable dans cet intervalle, en sorte que 



I f(x)dx ait un sens déterminé; il n'est pas nécessaire quef(x) 



J a 



reste toujours finie. 



On peut déterminer un polynôme P„ (x) d'un degré donné n par 



les conditions 



rb 



I f(x)V n (x)x k dx=o (& = o, 1, 2, . . ., n— 1). 

 J a 



Ce polynôme P n (#) a, comme on sait, toutes ses racines ajj, # 2 ,... 

 x n réelles, inégales, comprises dans l'intervalle de a à b, en excluant 

 les limites. 



Soit maintenant Ç(x) un polynôme entier en x du degré 2ra — 1 

 au plus. On a la formule 



r b 



J a 



où les constantes A x , A 2 , . . ., A„, données par les relations 



ne dépendent en aucune façon de la fonction Çj (x). 



Ces constantes A& sont toutes positives : elles jouissent de pro- 

 priétés importantes caractérisées par les inégalités 



f(x)dx {k= 1, 2, 3, . . . , n — i,n), 



a 



A i + A 2 + - • . + A fc < I f(x)dx (&=i, 2,3, . . .,w— i), 



J a 



Pour appliquer ces résultats à la quadrature de Gauss, il faut 

 faire /(#) = i, a = — î, b=-\-i. Les inégalités précédentes 

 montrent alors que a? 1? # 2 , x 3 ,. . . tombent dans les intervalles 



(-^-i+A^C-i+A^-i+^ + A,), 



(_ i +A,+A 2 , - i + A 1 +A Ï +A,),. . . 



