ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 443 



Si Ton applique la quadrature à une fonction § (x) , intégrable 

 de — 1 à — |— 1 , et comprise entre deux limites finies, l'expression 



Ai^(^ 1 ) + A 9 #(a? 9 )+ . . . -\-k n §\x n ) rentre par suite dans celle- 



ci qui sert de définition à l'intégrale I 0(x) dx : 



lim [SJ(Ç 1 ) + SJ(£ 2 ) + . . . + &?(&)], 



et comme les différences x Y -f- 1, x 2 — a? 1? x 3 — x 2 , . . . deviendront 

 infiniment petites avec -, l'approximation est indéfinie. 



Dans le cas particulier de ia quadrature de Gauss, le polynôme 

 P n se confond, avec le polynôme X n de Legendre, et l'on sait qu'alors 

 les racines a? 1? ..a? 2 , . . .,x n sont distribuées de manière que les in- 

 tervalles x x -f- 1 , x 2 — x 1% .' ''. . , x n — x n - x , i — x n deviennent infi- 

 niment petits avec -• L'analogue de cette proposition dans le cas 



général est la suivante : 



Lorsque n augmente indéfiniment, les intégrales 



/x i rx 2 r*x n rb 



f(x)dx 1 f(x)dx,...,\ f(x)dx, f(x)dx, 



a J X 1 J OCn-i J Xn 



convergent toutes vers zéro, sans qu'on puisse affirmer la même 

 chose des différences 



X^ a , #2 *"\ î i • • j %n ^n — 1 ? " X n ', 



les constantes A& tendent vers zéro avec -'• 



n 



M. Stieltjes indique, en terminant, un cas très étendu où la 

 quadrature mécanique donne une approximation indéfinie. 



Sur les fonctions entières, par M. Guichard. 

 (Annales de Y Ecole normale, 3 e série, t. I, p. ^27; 188&.) 



Etant données deux fonctions holomorphes G (z) et G 1 (z), pre- 

 mières entre elles, c'est-à-dire n'ayant aucun zéro commun, on 

 peut déterminer deux fonctions holomorphes à et [à satisfaisant à 

 la relation 



e~^G (z) + e-^)A (z) G 1 {z) = o, 



