ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 519 



aura pour intégrale générale une fonction uniforme /(z), rationnelle, 

 simplement périodique ou doublement périodique. Supposons-la 

 doublement périodique. Par îe changement de variable x—f(z), 

 l'équation (1) se transforme en une équation à coefficients double- 

 ment périodiques dont l'intégrale générale est aussi une fonction 

 de z uniforme dans tout le plan , et peut alors , en vertu du théo- 

 rème de M. Picard, s'exprimer au moyen des fonctions S. 



L'application de la méthode précédente permet à M. Goursat 

 d'énumérer les équations linéaires qui correspondent aux quatre 

 types bien connus d'équations binômes auxquels se ramènent, par 

 une substitution linéaire, toutes les équations de la forme (2) dont 

 l'intégrale est uniforme et doublement périodique. Signalons l'équa- 

 tion du troisième ordre : 



- [F* 2 (x- 1) + hx (x- i)+H# + K (x — 1)] y = 0, 



où h est un paramètre arbitraire et où les coefficients A , B, C, D , 

 E, F, H, K sont choisis de façon à donner aux racines des équa- 

 tions déterminantes fondamentales les valeurs 



m, m -)--, m -}--, pour x= o, 

 », ^' + 3? w " + 3' P our ^=1, 



p, p +\-> K+fo p° ur ^=°°, 



les m, », p désignant des entiers quelconques, mais dont la somme 

 est nulle. Si l'on fait x=f(z),f(z) étant une intégrale de l'équa- 

 tion binôme 



\dt) 



l-j-) =gx l {x-i)\ 



y sera une fonction uniforme de 2, exprimable, quel que soit h, au 

 moyen des fonctions O. 



M. Goursat fait ressortir les analogies qui existent entre l'équa- 

 tion de Lamé et l'équation (3), dont il étudie l'intégration avec 

 détails. 



