ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 587 



Si Ton a simultanément & = o , c=o, a — d=o, l'indétermi- 

 nation reparaît; on a même un couple de racines contenant cha- 

 cune deux constantes arbitraires au lieu d'une seule. 



SuR LES DÉVELOPPEMENTS QUI SE RAPPORTENT À LA DISTANCE DE DEUX 

 POINTS ET SUR QUELQUES PROPRIETES DES FONCTIONS SPHERIQUES , par 



M. Callandreau. (Comptes rend. Acad. des sciences, t. XCIX, p. 23; 

 188/i.) 



L'auteur se propose de généraliser la formule de Laplace 



Z„ = X»X„< + ~^ ^ w sin ;■« sm 6 cos (« - W ) 



2 d 2 X«. d 2 X' K • 9 /) • 9 /)' / ' / \ l 



+ (.-.)»(»+,) j?l?r g " lflM ^ C0S2 ( w -*)+•• ■; 



où Z n désigne ce que devient le polynôme de Legendre X n (cos#) 

 quand on remplace cos 6 (ou x) par 



cos 6 cos S' -j- sin sin #' cos (ir — 7r). 

 Il construit des développements 



Y = A XX' + ij g ^ sin sin 0' pj 



. +A 2 gg-isin^sin^'P 2 +..., . 



où les cosinus des multiples de ir ' — 7r qui figurent dans la série 

 de Laplace sont remplacés par des polynômes P„[cos(7r' — 7r) | 

 vérifiant la relation récurrente 



cos 



(tt' — 7r) P h = b n P n l t + cJP»*v 



Le problème consiste à déterminer les fonctions X et X' associées 

 aux quantités P, et les coefficients numériques A. L'auteur résout 

 complètement ce problème; il trouve que X vérifie une équation 

 du second ordre 



