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Sun LES FONCTIONS HOLOMORPHES DE GENRE QUELCONQUE, par M. CeSARO. 



(Comptes rend. Acad. des sciences, t. XC1X, p. 26; i884.) 



Soit une fonction holomorphe de genre co à facteur exponentiel 

 constant et n'admettant que des racines réelles a i , a 2 , a 3 ,. .. ., dif- 

 férentes de zéro. 



M. Gesaro montre que cette fonction et sa dérivée sont de même 

 genre. 11 déduit ce beau théorème de l'équation 



= o 



a n (z - a n ) 



qui donne les. racines de la dérivée, en la mettant sous la forme 



>4-i 



(x — a n ] 



où c désigne une constante réelle, et 2/a-f- 1 celui des nombres 

 cj, w-f-i qui est impair. On voit alors immédiatement que la 

 dérivée a toutes ses racines réelles et qu'entre deux racines consé- 

 cutives de la fonction il existe toujours une racine de la dérivée et 

 une seule, d'où résulte la proposition énoncée. 



M. Hermite donne du théorème de M. Gesaro une démonstra- 

 tion fondée sur la remarque suivante : l'équation 7 — — = 0, 



1 l Ask x — a n 



où les quantités a n sont réelles et rangées par ordre de grandeur, a 

 toutes ses racines réelles et comprises entre a n et a n+1 , lorsque tous 

 les produits k n a n ont le même signe. 



SUR LA REGLE DE NeWTON POUR TROUVER LE NOMBRE DES RACINES IMAGI- 

 NAIRES DES ÉQUATIONS ALGEBRIQUES NUMERIQUES , par M. DE JoN- 



quieres. (Comptes rend. Acad. des sciences, t. XCIX, p. 62, 111, 

 i65 et 269; 18M.) 



Dans quatre communications successives, M. de Jonquières fait 

 l'historique et la critique de la règle donnée par Newton pour trou- 

 ver une limite inférieure du nombre des racines imaginaires. 



Tombée dans l'oubli pendant plus d'un siècle, cetle règle, que 

 Newton s'était contenté d'énoncer, n'a été démontrée complètement 

 qu'en 1 865 par M. Sylvester, qui a donné à cette occasion deux 

 théorèmes plus généraux. 



