ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 589 



Il reste toutefois deux points à éclaircir : 



i° Lorsqu'une ou plusieurs des fonctions quadratiques qui inter- 

 viennent dans l'opération sont identiquement nulles, quel signe 

 convient-il de donner à ces fonctions ambiguës pour obtenir la plus 

 grande précision possible? M. de Jonquières montre que c'est le 

 signe -f-. 



2° Peul-il arriver que la limite inférieure indiquée par la règle 

 de Descartes pour le nombre des racines imaginaires soit plus 

 élevée que la limite indiquée par la règle de Newton? La réponse à 

 celte question est négative. Voici l'énoncé de la règle de Newton, 

 simplifié par M. de Jonquières : 



Étant donnée l'équation algébrique numérique 



A a? m -fA 1 a? m - 1 +A 2 a; m - a + . . . + A P a? w - r + . . . -]-A m =o, 

 on calculera les valeurs numériques de la fonction quadratique 



r {m — r) 



r (m — r) -j- m -}- 



|A î ;--A ; r-iAr + ^ (r = o, 1,2, ...,m), 



et l'on écrira sous le terme k r x r le signe -|- si la valeur de la fonc- 

 tion est positive ou nulle, le signe — si elle est négative, et le 

 signe -f- sous les termes A x m et A m . Autant cette suite de signes 

 présentera de variations, autant, au moins, l'équation aura de 

 racines imaginaires. 



Sur l'équation en matrices px = xq, par M. Sylvester. 

 (Comptes rend. Acad. des sciences, t. XGïX, p. 67 et n5; 188k.) 



Soient p et a deux matrices de l'ordre co. Pour que l'équation 

 px = xq soit résoluble, les éléments de p et de q doivent être liés 

 par une équation et une seule. 



Mais on reconnaît aisément que l'équation identique est la même 

 en p et en q; par suite les co racines de q sont identiques aux 

 co racines de p. On aura donc en apparence co équations au lieu 

 d'une seule entre les éléments de p et de q. 



M. Sylvester fait disparaître cette contradiction en montrant que 

 x est alors en général une matrice vide. Le raisonnement semble- 

 rait montrer que x est vide dans tous les cas sans exception où 

 l'équation px = xq est résoluble; cette conclusion est démentie par 



Revue des trav. scient. — T. V, n cs 8-9. ho 



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