604 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



fi{ x )>Âi x )-> ' ■ -iA( x ) etan t des polynômes de degrés non supé- 

 rieurs h. n — i , les fonctions 



^,.(w 1 , 112, . . .,u H ) = s/$(ar), 



i = n 



V~l f(xi) 



Prs = p r Ps 2+ 



(xi — a r ) {xi— a s )(p (xi ) 



V-st-MMh^T— 



s« 



(xi — Or) (xi—as) (xi— at) 0' (œi) ' 



et ainsi de suite, dans lesquelles on a 



(p (x) = (x — xj (x — x 2 ) . . . (x — x n ), 



sont, comme on sait, des fonctions hyperelliptiques d'ordre w, dont 

 io nombre est h n — i. 



M. Brioschi divise en trois groupes les in-\- i quantités a , 

 ^, . . ., a aB+1 ; il désigne n d'entre elles par « r , a r , . . ., a rn , 

 n— i autres par a m , a m , . . . , a mn _ x -> et les deux dernières par 

 a s , # f . Cela posé : 



Les carrés des deux fonctions à un seul indice j»,, p t et les carrés 

 des- in — i fonctions à deux indices p sU p ms , p mt , (m = Wj , wi 2 , . . . , 

 Mn^i) peuvent s'exprimer en fonction linéaire des carrés de x r , 

 x r ^ . . ., # rn , . . . , y r ^ y r ^ . . . , ^. 



Les carrés des m — i autres fonctions à un seul indice et les 

 carrés des (n— i) (an— i) autres fonctions à deux indices multi- 

 pliés par j?* ne jouissent pas de cette propriété, mais sont des fonc- 

 tions biquadratiques homogènes de x r , x r , . . ., y r , y r , .... 



Il y a exception pour w = 2*; mais le théorème suivant est abso- 

 lument général : 



Les carrés de — fonctions hyperelliptiques d'ordre n à un 



et à deux indices sont exprimables en fonction linéaire des carrés 

 des - (w 2 -f- n -f- 2) autres; en d'autres termes, les carrés de 

 ~(n-\- i)(3n + a) fonctions ^ à un et à deux indices sont expri- 

 mables linéairement par les carrés des -(w 2 -f-w-f- 2) autres. 



