ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 607 



a la somme ou la différence de deux quelconques d'entre eux n'est 

 ni nulle ni égale à un multiple de 27r. On aura 



/(*)-(- i)-/(°)II 



« sin - (x -\- ai ) sin -(œ — ai) 



2 2 



• o 1 



sin- — ai 



2 



i = nf(ai)sm-(x-\-ai)-{-f(—ai)sm-(x — ai) sin-(a?+ a ») sin-'(œ — àij 



5 



+^z ., . — — n 



1 

 si n — ai sin ai sin - (ai -j- a/ ) sin - (ai — aj ) 



le dernier signe de multiplication H s 1 appliquant aux indices 



j= 1, 2, . .. ., î— î, i+ î, . . . ., ». 



iSï/B Î/2VE GÉNÉRALISATION DES FRACTIONS CONTINUES, par M. PoiNCARE. 



[Comptes rend. Acad. des sciences, t. XG1X, p. ioi&; i884.) 



L'auteur rappelle d'abord l'interprétation géométrique des frac- 

 tions continues qu'il a donnée dans le XLV1P cahier du Journal de 

 T Ecole polytechnique, et qu'il va généraliser de la manière suivante : 



Il s'agit d'approcher simultanément de deux quantités positives a 

 et (3. On construira la droite \j = ax, z = (3x et l'on formera l'as- 

 semblage à la Bravais dont tous les sommets ont pour coordonnées 

 des nombres entiers. Le problème consiste à trouver sur ce réseau 

 des points qui se rapprochent beaucoup de la droite y=ax, 

 z = fix. 



Le réseau peut être engendré par une infinité de parallélipi- 

 pèdes de volume î, qui peuvent lui servir de mailles. Soient A, B, 

 C trois sommets du réseau tels que le tétraèdre OABG ait pour 

 volume i/6. On suppose la droite y = ax,z = j3x à l'intérieur de 

 ce trièdre. On complétera le parallélipipède dont les triangles 

 OAB, OBG, OC A sont trois demi-faces, et on le divisera en six 

 trièdres, enjoignant le point O à ses divers sommets. On conser- 

 vera celui de ces trièdres qui contient la droite y = ax, z = (3x, 

 et l'on opérera sur lui comme sur le trièdre OABC. On sera ainsi 

 conduit à une série indéfinie de trièdres de plus en plus petits et 

 contenant tous la droite y = <xx, z = (2x. 



Voici la traduction analytique de cette suite de conslructions 



