802 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



par suite de la variable indépendante X. Supposant X éliminée, il 

 considère uniquement les n — 2 relations qui lient les n — 1 inva- 

 riants. C'est dans ces relations qu'il trouve les éléments propres à 

 la solution de la première question : 



I. Pour qu'il existe une substitution de la forme (1) qui con- 

 duise à une équation à coefficients constants, il faut et il suffit que 

 les invariants absolus soient des constantes. 



IL Pour qu'il existe une substitution de la forme (1) qui con- 

 duise à une équation à intégrale générale rationnelle ou à une 

 équation à coefficients doublement périodiques et à intégrale géné- 

 rale uniforme, il faut mais il ne suffit pas que les invariants soient 

 liés par des relations algébriques du genre ou du genre 1; 



III. Si ces relations sont du genre 1, il est impossible d'obtenir 

 une transformée à intégrale générale rationnelle. Soit alors u la va- 

 riable dont les n — 1 invariants peuvent être considérés comme 

 des fonctions uniformes doublement périodiques et aux mêmes pé- 

 riodes trr, #'■! Pour qu'il existe une solution de la forme (1) con- 

 duisant à une équation à coefficients doublement périodiques et à 

 intégrale générale uniforme , il faut et il suffit que les rapports des 

 intégrales, considérés comme des fonctions de la variable w, n'aient 

 aucun point critique (l'infini non compris). 



IV. Si les relations entre les invariants sont du genre 0, soit a 

 une variable en fonction de laquelle ces invariants soient rationnel- 

 lement exprimables et qui leur corresponde uniformément. Pour 

 qu'il existe une substitution de la forme (1) conduisante une équa- 

 tion dont l'intégrale générale soit rationnelle, il faut et il suffit : 



i° Que les rapports des intégrales, envisagés comme fonctions 

 de a, n'aient que des points critiques algébriques, au nombre de 

 trois au plus, y compris l'infini; 



2 Si ces points critiques sont au nombre de trois, que leurs 



ordres m, n, p satisfassent à la condition --4 h-> i- 



J m n p 



V. Si les relations entre les invariants sont du genre o et que 

 les conditions IV ne soient pas remplies, pour qu'il existe une 

 substitution de la forme (t) conduisant à une équation dont les 

 coefficients soient doublement périodiques et dont l'intégrale géné- 

 rale soit uniforme, il faut et il suffit : 



