ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 803 



i° Que les rapports des intégrales, envisagés comme des fonc- 

 tions de a, n'aient que des points critiques algébriques, au nombre 

 de trois ou quatre (y compris l'infini); 



2° S'il y a trois points critiques, que leurs ordres m, n, p satis- 

 fassent à la condition -H h -== î; 



m n p 



3° S'il y a quatre points critiques, qu'ils soient tous quatre du 

 second ordre. 



On voit que la première des questions proposées est résolue au 

 moyen d'opérations purement algébriques. 



Il semble que la seconde le soit du même coup, et que la substi- 

 tion étant trouvée, il n'y ait qu'à l'effectuer et à appliquer les mé- 

 thodes usitées d'intégration. C'est en effet à quoi se borne M. Hal- 

 phen dans les cas théoriquement les plus simples, ceux où les 

 rapports des intégrales n'ont aucun point critique. Mais si ces rap- 

 ports ont des points critiques, la transformation exigerait des 

 calculs impraticables; il faut intégrer sans l'effectuer. M. Halphen 

 y réussit en cherchant, dans l'étude approfondie des points cri- 

 tiques, des conditions algébriques auxquelles les intégrales satisfont 

 et en démontrant, dans chaque cas, que ces conditions suffisent 

 pour construire les intégrales par des opérations qui deviennent 

 indépendantes de l'équation différentielle. 



Problème inverse des brachistochrojes , par M. Hatox de la Gou- 

 pillière. (Mémoires présentés à l'Académie des sciences, 2 e série, 

 t. XXYIII, n° 5; i884.) 



Il s'agit de déterminer le système de forces sous l'influence du- 

 quel une courbe proposée serait la ligne du trajet le plus rapide. 

 Si l'on suppose la courbe plane , la réaction normale est double en 



chaque point de la force centripète -. C'est en traduisant en coor- 

 données rectangulaires cette propriété découverte par Euler que 

 M. Haton de la Goupillière obtient l'équation différentielle qui fait 

 connaître la fonction des forces T : 



h 



l) p-^ T L - = 2 — 2 ' V = T' 



1 r ôx oy i -f- p 2 1 dx 



L'équation (î) ne sera définie qu'après que l'on aura empruntt 



