ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 53 
x 
Pour répondre à cette question, M. Poincaré envisage d'abord 
le système homogène. 
(1) A@+A a, +... HA,@,+... = 0,(p—0,1,2...,ad inf.) 
où les nombres connus a,, a... vérifient les conditions 
las le, oplima,|= 00: 
H forme la fonction F(x), holomorphe et de genre zéro, qui 
‘ k ÆPdx . 
7 , Li 
admet pour zéros 4,, a,... Soit J,, l'intégrale ES prise le long 
d’un cercle qui a pour centre l'origine et un rayon variable compris 
entre |a,| et |a,,,|; on suppose que J,, tende vers o, quel que 
soit p, pour n— 00. Soit 
A 
PSS 1 , X TE LEA T2 
le résidu de NO ER L'hypothèse précédente peut s'écrire 
Z A;a? — 0, de sorte que les À; sont une solution du système (1). 
C'est bien celle à laquelle conduirait la méthode de M. Appel. Mais 
elle n'est pas unique : les quantités À; a;, À; a?..., par exemple, 
satisfont également aux équations (1). Il est difficile d'exprimer la 
solution la plus générale de ces équations; M. Poincaré donne la 
condition nécessaire et suffisante à laquelle elle doit satisfaire. 
Il y a des cas où la solution obtenue par la méthode de M. Appell 
n'existe pas. Ainsi, pour a, —(n—{)x°, d’où F(x) —cos Vz. les 
résidus de er savoir À,—# (2n — 1)7, ne donnent pas une s0- 
lution des équations (1), car la série ZA, n’est pas convergente. 
Reprenant les équations mêmes traitées par M. Appell, M. Poin- 
caré montre que la solution trouvée par ce géomètre y salisfait 
effectivement. I existe une infinité d’autres solutions, mais il n°y 
en a qu'une, celle de M. Appell, qui conduise à un développement 
2 Ày eb? conversent. 
SUR LA DÉCOMPOSITION D'UN NOMBRE EN QUATRE CARRÉS, par M. War. 
(Bull. de la Soc. math., t. XIIT, p. 28; 1885.) 
Démonstration directe d’un théorème dû à Jacobi.. qui l'a déduit 
de la théorie des fonctions elliptiques : 
