ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 111 
vérifiée par M. Biehler sur un grand nombre d'exemples et com- 
plètement démontrée par M. Hermite dans un travail imédit : 
Si l'on développe une fonction doublement périodique de troi- 
sième espèce en une série ordonnée suivant Îes puissances de q, on 
voil L'péteure dans les sinus et cosinus qui forment les coefficients 
d <èm 
de g* les combinaisons des diviseurs conjugués d et d' de 
N(N— dd"), le signe + comen au onil y à au numérateur 
m fonctions © de plus qu'au dénominateur et le signe — au cas où 
il y a au dénominateur » fonctions @ de plus qu'au numérateur. 
SUR LES TRANSFORMATIONS RATIONNELLES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 
=: 5 Q 
LINÉAIRES, par M. Goursar. (Annales de l'Ecole normr'., 3° série, 
t. Îl, p. 37::2888:) 
L'auteur généralise les résultats auquels 11 est parvenu antérieu- 
rement en étudiant les intéorales rationnelles de l'équation du troi- 
sième ordre de M. Kummer, qui se présente à propos de la trans- 
formation des séries hypergéométriques. Le problème d'algèbre 
qu'il a soulevé offre plus d’une analogie avec celui de la transforma- 
tion des intécrales elliptiques, traité par Jacobi. Les ‘deux questions 
ne sont d'ailleurs que des cas particuliers d’un problème très géné- 
ral relatif aux transformations rationnelles des équations différen- 
tielles linéaires, qui comprend toutes les questions que l'on peut se 
poser sur la réduction des intégrales hyperelliptiques au moyen 
des substitutions rationnelles : 
Étant donnée une équation à p points singuliers, trouver toutes 
les fonctions rationnelles G(t) telles que par le changement de 
variable x— @(t) on obtienne une équation à g points singuliers 
seulement. 
La question dépend de la recherche des solutions en nombres 
entiers positifs de certaines équations indéterminées. Ces systèmes 
de solutions une fois connus, la détermination effective des substi- 
tutions rationnelles exige l'emploi de calculs, souvent très compli- 
qués, par la méthode des coefficients indéterminés. 
Comme application, l’auteur montre comment on peut ramener 
à un problème d'élimination la question de reconnaitre si une équa- 
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